Sophomore Math Circle， 關於Sophomore Math Circle的問題

1. 求通過直線 x=-2 和已知圓 x2+y2+2x-4y-11=0 交點的所有圓中面積最小的圓的方程。

設圓為 x +y +2x-4y-11+2k（x+2）=0，簡化 r =（x-1-k） +y-2） =11-4k+4+（1+k） =（k-1） >=15

因此，當 k=1 時，r 是最小的，即 s= r 是最小的。

因此，圓方程為 x +y +4x-4y-7=0

2.已知乙個圓經過p（4，-2），q（-1,3）兩點，在x軸上擷取的線段長度為4，得到數字3，得到圓的方程。

設圓的方程為 x +y +dx +ey+f=0，因此 y=0 和 x +dx+f=0

因此，x軸上線段的長度在根數（d -4f）=4根數3下，即d -4f=48，即f = d 4-12<1>因為圓穿過p（4，-2），q（-1,3）的兩點，所以。

20+4d-2e+f=0 <2>

10-d+3e+f=0 <3>

2>*3+<3>*2.

16+2d+f=0

代替<1>。

d²/4+2d+4=0

d = -4 所以 f = d 4-12 = -8

e=-2，所以圓的方程是 x +y -4x-2y-8=0

由。 x=-2

x^2+y^2+2x-4y-11=0

得到 y=2 15

面積最小的圓是兩點交點處線段直徑相同的圓。

所以面積最小的圓的直徑=（2+15）-（2-15）=2,15，圓心的坐標為（-2,2）。

所以圓的方程是 （x+2） +y-2） =15，原方程是 （x-a） 2+（y-b） 2=r 2 ......1）公式。

p 和 q 被帶入等式 （1） 得到。

4-a)^2+(2+b)^2=r^2 ……2）公式。

1+a)^2+(3-b)^2=r^2 ……3）公式。

設 x=0，a 2+（y-b） 2=r 2，解。

y1=b + 根 （r 2-a 2）。

y2=b 根 （r 2-a 2）。

由於圓是在 y 軸上切割的，因此該段是根數 3 的 4 倍

所以 |y1-y2|= 根數 3 的 4 倍

即 2（r 2-a 2） = 根數 3 的 4 倍，簡化為 r 2 = a 2 + 12 ......4）公式。

求解方程 （2）、（3） 和 （4）。

a=1，b=0，r=13 在根數下，圓方程 （x-1） 2+y 2=13 或。

a=5， b=4， r=37 在根數下，圓方程 （x-5） 2+（y-4） 2=37

圓c的半徑為1，在第一象限內，與y軸相切，見下圖，圓x坐標的中心為1，設圓y坐標的中心為b。 物體射擊。

那麼圓方程為：日曆（x-1）+y-b）=1判斷：ab=3，看圖，0b>1，a和b是以圓為對稱點，根據選擇肢蟻的判斷。

a=√(9/10)，b=√(10/3)

將 x=a，y=0 代入假設的圓形方程，我們得到： b=圓形方程為：（x-1） +

解：圓方程：（x-2） +y+2） =2

圓心：（2，-2），半徑：r= 2

從直線到圓心的距離：d=|2+2-5|愚蠢的 2 = 藍色液體 2 2 由於半徑為 1，因此它的弦長為 Hui Burn：

l=2×√(r^2-d^2)=√6

首先，鄭開沙發現圓心為（2，-2），圓心到直線的距離為2 2

因此，弦長為 2* （2-1 2） = 6

這是此類問題的基本解決方案。

解決方案：1設圓心為 （x0,0） （x0 0） 且半徑 r （r 大於 0），依次如此。

x-x0） 2+y 2=r 2，則有 （-1-x0） 2+3 2=r 2，我們得到 x0 2+2x0-r 2+10=0，讓直線 l 和花園相交於 （x1，y1），（x2，y2） 兩點，則 y1=x1+5，y2=x2+5，則弦長 = 根數 [（x1-x2） 2+（y1-y2） 2] = 根數 [2（x1-x2） 2=2， 所以有 （x1+x2） 2-4x1x2=2，y=x+5 代入 （x-x0） 2+y 2=r 2，我們得到 2x 2-（2x0-10）x+x0 2+25-r 2=0，所以有。

x1+x2=（2x0-10） 2=x0-5，x1x2=（x0 2+25-r 2） 2，所以。

x1+x2） 2-4x1x2=（x0-5） 2-4*（（x0 2+25-r 2） 2）=x0 2+10x0+25-2r 2=2， 膽汁 x0 2+2x0-r 2+10=0， x0=-1， r=3;x0 = 7（四捨五入），所以花園的等式是。

x+1)^2+y^2=9

2.設點 q 的線性方程為 y=kx+b，則有 4=2k+b，所以 b=4-2k，所以 y=kx+4-2k 代入。

x+1） 2+y 2=9，得到。

設 p（x，y）。

pa^2/pb^2=[(x+5)^2+y^2]/[(x-b)^2+y^2]=(10x+34)/(-2bx+b^2+9)

如果是固定值，則比值可以設定為k，10=-2bk，34=（b 2-9）k，即10-2b=34（b 2+9）。

b = -5 或 b = -9 5（以較晚者為準）。

給定的標題是不完整的，假設兩個圓是相切的、相交的和相切的，並找到 m 1 的範圍，內切：

圓 c1：（x-m） 2+y 2=4，圓心為 （m，0） 半徑 r1=2

圓C2：（x+1）2+（y-2m）2=9，圓心為（-1,2m），半徑r2=3

如果兩個圓被內切，則圓的質心距離等於半徑，r2-r1=1，即（m+1）2+（2m）2=1

5m^2+2m=0

m1=0,m2=-2/5

2.相交：如果兩個圓相交，圓的中心距離小於半徑和r1+r2=5，半徑差r2-r1=1

即 （m+1） 2+（2m） 2 <（2+3） 25m 2+2m-24<0

5m+12)(m-2)<0

解決方案-12 51

5m^2+2m>0

m1>0,m2<-2/5

12 53，向外。

如果兩個圓被內切，那麼圓心之間的距離等於半徑和r1+r2=5，即（m+1）2+（2m）2=（2+3）25m 2+2m-24=0

5m+12)(m-2)=0

解為 m1=-12 5， m2=2

如果 r 大於 0，則列出兩個要求解的不等式，r 是 d2e2-f2 下除以 2 的不等式

第乙個圓的中心是 （m，0），半徑 = 2

第二個圓的中心是 （-1,2m），半徑 = 3

當兩個圓被內切時 （m+1） 2+（2m） 2=5 2 當兩個圓被內切時 （m+1） 2+（2m） 2=1 2，所以 1 2 （m+1） 2+（2m） 2 5 2 解 m 屬於 （ 12 5， 2 5） 和 （0,2） 我的絕對權利。

圓 c1：（x-m） 2+y 2=4

圓心為 （m，0） 半徑 r1=2

圓C2：（x+1）2+（y-2m）2=9，圓心為（-1,2m），半徑r2=3

如果兩個圓之間有交點，則圓心之間的距離小於或等於半徑與r1+r2，即（m+1）2+（2m）2（2+3）25m 2+2m-24 0

5m+12)(m-2)≤0

解決方案 -12 5 m 2

也就是說，所尋求的。

圓 C2 （1,2m），半徑 3

兩個圓相交。 兩個圓的半徑之差 圓心之間的距離 兩個圓的半徑之和為 1 [m 1） 4m ] 5

0 公尺2

m 的取值範圍為 （0,2）。

C1：公式 （x + m） 平方 + y 平方 = 4 很明顯，C1 一定是乙個圓，m 屬於 r，C2 公式 （y - 2m） 平方 + x + x + 1） 平方 = 7 m 屬於 r，m 總共屬於乙個實數。

這個問題主要是通過結合數字和形狀來解決的，問題中m的具體值並不嚴謹，m是有範圍的，希望對大家有所幫助！

圓的面積公式：禿鷲 x 直徑。

圓周的公式：禿鷲 x 半徑 x 半徑。

顯然 p（0,1） 是兩個圓的交點。

所以連線兩個圓的兩個交點的線是直線的方程。

從 （x-2） 2+（y-2） 2=5 中減去 x 2+y 2=1 得到：

4x-4y+8=4

x+y-1=0

這是主張直線的方程式。

ab = 1 3 的斜率，ab 垂直於 ad，則：ad = -3ad 的斜率方程：y-1=-3（x+1）。

即：y=-3x-2，x-3y-6=0，我們得到：

x=0, y=-2

所以：點乙個坐標（0，-2）。

M 是矩形 ABCD 的外接圓心。

矩形吉祥ABCD的外接圓半徑=MA =（2 2 + 2 2） （1 2）=2（根數2）。

設圓 p 的中心為 p（-2，p），則半徑 = |p|pm=|p|+2 （根數 2） = （4 2 + p 2） （1 2） = （16 + p 2） （1 2）.

16+p^2=(|p|+2 （根數 2）） 2p|= 根數 2

p=+ 根部，棚姿編號 2

所以，圓 p 的方程：

x+2） 2+（y-（根數 2）） 2=2

或：（x+2） 2+（y+（根數 2）） 2=2