兩道高階數學題

1. 證明：因為 f（x） 在 [0,1] 上是連續的，在 （0,1） 上是可推導的，所以 f（0）=f（1）=1

由羅爾定理 f'（x）=0 的根位於 （0,1）。

2. 設 bn=an （n+1），則 an=bn（n+1），n=0,1,......

f（x）=a0+a1*x+a2*（x-平方）+。an*（x 的 n 次方）。

b0+2b1x+3b2x^2+……n+1)bnx^n

設 g（x）=b0x+b1x 2+b2x 3+......BNX （N+1），顯然是 G'(x)=f(x)

所以 f（x）=0 的根是 g'（x）=0。

由於 g（0）=g（1）=0 滿足羅爾定理的所有條件，g'（x）=0 的根位於 （0,1）。

因此 f（x）=0 的根源在於 （0,1）。

給積分！

1. 首先，很明顯（0,1）是連續的。

f(0)=f(1)=1

所以 （0,1） 上有 x，使得 f（1）-f（0）=f'(x)*(1-0)=0

證明。 2. 設 f（x） = 此字串。

f(0)=a0

f(1)=a0+a1+a2+..an

1.平面曲線l的線密度為f（x，y），相對於x軸，轉動慣量ix=（l）y 2f（x，y）ds，iy=（l）x 2f（x，y）ds

以原點為圓心，x軸為對稱軸，圓弧的方程為x2+y2=r2，引數方程為x=rcost，y=rsint，-a t。

這裡的弧線應該是均勻的弧線，對吧？ 也就是說，線密度是恆定的，因此弧相對於 x 軸的轉動慣量 ix= （l） y 2 ds= （-a to a） （rsint） 2* *rdt 2 r 3 （0 to a） （sint） 2dt r 3 （0 to a） （1-cos2t）dt r 3（a-sinacosa）。

2.平面曲線l的線密度為f（x，y），質心坐標x（l）yf（x，y）ds（l）f（x，y）ds，y（l）xf（x，y）ds（l）f（x，y）ds（l）f（x，y）ds

ds＝2asin(t/2)dt

設擺線的線密度恆定，則質量 m （l） ds （0 至 ） 2asin（t 2）dt 4a，靜力矩 mx （l） y ds （0 至 ） a（1-成本）*2asin（t 2）dt 16 a 2 3，my （l） x ds （0 至 ） a（t-sint）*2asin（t 2）dt a 2（ 2-8）。

所以，x my m a 2（ 2-8） 4 a a（ 2-8） 4，y m x m （16 a 2 3） 4 a 4a 3，質心坐標為 （a（ 2-8） 4， 4a 3）。

使用元素法進行分析（假設線性密度為 1，x 軸上的對稱軸）。

取弧上的乙個小弧作為ds，坐標為（x，y），則其在對稱軸上的轉動慣量為di=y*yds，然後將弧s與曲線積分，考慮積分技術，可以將其轉換為極坐標，ds=rda，i=r*3乘以sin*2a，從-a到a， 計算出的轉動慣量 i=r*3（1+sin2a 2）.

2：答案是 e a 有一條捷徑：當形式為 （1+m） n 取極限（m 趨向於無窮大）時，其極限為 e mn 以下通用方法：

根據重要極限，可以簡化為（1+a x） （x a）*a），根據重要極限，答案是e a

解： 1 設 y=x 立方 lnx，求 dy dxy=x 3lnx

Dy dx=d（x 2lnx） dx=（2xlnx+x）2 設 x=3t 平方 y=lnt，求 dy dxdx dt=（3t 2）。'=6t

dy/dt=(lnt)'=1/t

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(1/t)/(6t)=1/(6t^2)

如果存在二進位函式限制，則可以限制乙個，然後再限制另乙個。

有一種更簡單的方法可以做到這一點，因為有限制，我們可以選擇適合自己的路徑。

例如，選擇 x = y

極限 （sqrt（xy-1） -1） （x + y） = 極限 （sqrt（x 2-1）-1） （2x） ====> 使用 Lobida 規則，您可以立即獲得結果。

下乙個問題，您可以自己嘗試類似的東西。