什麼是微積分？ 20、什麼是微積分？

什麼是微積分？ 微積分的含義：

微積分是數學的乙個分支，研究函式的微分和積分，以及概念和應用。 它是數學的一門基礎學科。 內容主要包括極限、微積分、積分科學及其應用。

微積分由尋找導數的操作組成，是一套關於變化率的理論。

它使得在一組通用符號中討論曲線的函式、速度、加速度和斜率成為可能。 積分，包括求積分的運算，提供了一套用於定義和計算面積、體積等的通用方法。

微積分。 calculus，拉丁語，意為用於計數的小石頭）。

它是研究極限、微積分、積分科學和無窮級數的數學分支，已成為現代大學教育的重要組成部分。 從歷史上看，微積分曾經指的是無窮小的計算。 更本質地說，微積分是變化的科學，就像幾何學是空間的科學一樣。

微積分是結合實際應用而發展起來的，在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學和應用科學中有著越來越廣泛的應用。 特別是，計算機的發明促進了這些應用的不斷發展。

客觀世界中的一切，從最小的粒子到最大的宇宙，總是在運動和變化。 因此，在數學中引入變數的概念後，可以用數學來描述運動現象。

由於函式概念的深化和應用的深化，以及科學技術發展的需要，在解析幾何之後誕生了乙個新的數學分支，那就是微積分。 微積分是數學發展中非常重要的一門學科，可以說是繼歐幾里得幾何之後所有數學中最大的創造。

一元微分。 定義：讓函式 y

f（x） 在一定的區間 x0 和 x0 中定義

x 在此範圍內。 如果函式為 delta δy

f(x0δx)

f（x0） 可以表示為 δy=

Aδx0o（δx0）（其中a是與δx無關的常數），o（δx0）是比δx高無窮小的階，則函式f（x）在x0點可微，aδx稱為x0點函式的微分，對應於自變數的delta δx，記為dy，即dy

aδx。通常把自變數x的增量。

x 稱為自變數的微分，表示為 dx，即 dx

x。所以函式 y

f（x） 的微分可以表示為 dy

f'(x)dx。函式的微分和自變數的微分的商等於該函式的導數。 因此，導數也稱為微商。

幾何意義。 設 δx 為曲線 y

點m在橫坐標上f（x）上的增量，δy是曲線在點m處的增量，對應於縱坐標上的δx，dy是曲線在點m處的切線，對應於縱坐標上δx的增量。 時間|δx|非常小， |δy－dy|比 |δy|小得多（高階無窮小），所以在點 m 附近，我們可以近似而不是帶有切線段的曲線段。

多變數分化。 同樣，當存在多個自變數時，可以推導出多變數微分的定義。

積分是微分的逆，即知道函式的導數，原來的函式被反轉。 在應用方面，積分效應不僅如此，還廣泛用於求和，通俗地說，求曲線三角形的面積，這種巧妙的求解方法是由積分的特殊性質決定的。

函式的不定積分（也稱為原始函式）是指另乙個函式族，而這個函式族的導數就是前乙個函式。

其中：[f（x）。

c]'f(x)

區間 [a，b] 上的實函式的定積分是乙個實數。 它等於函式的原始函式在 b 中的值減去 a 中的值。

微積分。 我們可以從字面上猜到它的含義。 事實上，我們必須將這個詞分解成兩個詞。

乙個是微分，另乙個是積分。 如何理解差異化和整合？

讓我舉個例子。 給定乙個三角形並告訴你一條邊的長度和該邊的高度，我相信你可以立即計算出三角形的面積。 公式寫得很清楚。

這是由於數學家的工作，他們基本上解決了如何計算許多正則圖形的面積的問題。 但你要知道，現實生活中並不是所有的東西都有規律的形狀。 例如，如果我在桌子上灑一灘水，鋪在桌子上的水的形狀通常是不規則的。

如果它因為表面張力而在外太空變成乙個球，這是乙個很好的計算，更不用說了）。然後我要你計算一下這個水位的面積。 你能給我乙個公式嗎？

我想你會很苦惱的。 或者你會考慮使用近似方法，找到乙個相似的圓或其他東西，並且不需要角和角。 這是個好主意，我認為這是微積分的起源。

這就是微積分發揮作用的地方。 你如何計算這片水域的面積？

現在讓我們更深入地了解一下。 如果將水灑在一張刻有正方形的紙上，乙個近似的演算法是檢視水佔據了多少個正方形，儘管總有一些正方形在邊界處不規則地填充。 我們可以近似地認為，如果我們佔據了一半以上，我們會認為這都被占用了，然後數一數佔據了多少個正方形，並且知道正方形的面積，即邊長的平方。

同樣，這是乙個比我上面提到的初始方法更準確的近似值。

但是，我們可以繼續深入研究，如果這張網格紙上的網格更小，則說明這張紙現在是由密集的小網格組成的，所以還是按照剛才的演算法，不難看出，這個演算法的誤差更小。 我想讓你看到這一點，你能理解我的意思。

然後，我將觸及極限的概念。 也就是說，如果這張紙上有無限多的小單元，並且網格排列得無限緊密，然後我們重複上面的計算過程，我們認為這種方法的答案是水的真實面積。

分化對應於我們將水分成無限數量的小細胞的過程。 也就是說，將水分成許多無窮小的部分。 那麼積分對應於這些無窮小部分的積累。

這是要加起來的。 然後，你得到了這個區域。 這就是最初使用微積分的地方。

計算不規則的面積。 微積分是乙個三步過程。 微分、取極限、積分。

原理在樓上很清楚。 導數是差值的極限。 積分是總和的極限。

整個微積分課程將涉及導數是否存在、積分是否存在以及如何求解的問題...... 可以計算，可以看作是初步介紹，可以判斷，可以算是入門......

和微分方程的解...

微積分是乙個數學概念，“無限細分”是微分，“無限和”是積分。 無限是極限，極限的思想是微積分的基礎，微積分是用一種運動的思想來看待問題。 例如，子彈從腔室中射出的瞬時速度是微分的概念，子彈在每個時刻行進的距離之和是積分的概念。

如果把整個數學比作一棵大樹，那麼初等數學就是樹的根，數學的許多分支就是樹枝，樹幹的主要部分是微積分。 微積分可以說是人類智慧最偉大的成就之一。 17世紀以來，隨著社會的進步和生產力的發展，以及航海、天文學、礦山建設等諸多問題有待解決，數學也開始研究變化的量，數學進入了“變數學”時代，即微積分作為一門學科不斷完善。

在整個 17 世紀，數十位科學家對微積分的創造進行了開創性的研究，但牛頓和萊布尼茨使微積分成為數學的乙個重要分支。

微積分是。

高等數學中微觀函式的研究。

點、點和相關概念和。

數學的應用分支。 這是數字。

學習的基本紀律。 內容。

主要包括極限、微積分、

整體科學及其應用。 微分。

包括查詢導數的操作就是其中之一。

關於變化率的一套理論。 它。

做乙個函式，速度，加速度。

以及曲線的斜率等。

用於討論的通用符號集。

整體主義，包括尋找點的運動。

計算，用於定義和計算面積

體積等提供了一組通用的正方形。 法律。

積分及其導數上限的函式。

設函式 f（x） 在區間 [a，b] 內連續，設 x 為 [a，b] 上的乙個點。 現在，如果我們看一下 f（x） 在區間 [a，x] 的一部分上的定積分，我們知道 f（x） 在 [a，x] 上仍然是連續的，所以這個定積分存在。

如果上限 x 在區間 [a，b] 內任意波動，則對於 x 的每個給定值，定積分具有相應的值，因此它在 [a，b] 上定義了乙個函式，表示為 （x）：

注意：為清楚起見，我們更改了積分變數（定積分與積分變數的符號無關）。

定理（1）：如果函式 f（x） 在區間 [a，b] 上是連續的，則積分上限的函式在 [a，b] 上有乙個導數，其導數為 。

a≤x≤b)

2）：如果函式 f（x） 在區間 [a，b] 上是連續的，則該函式是 f（x） 在 [a，b] 上的原始函式。

注：定理（2）既肯定了連續函式原函式的存在，而且初步揭示了積分論中定積分與原函式的聯絡。

牛頓-萊布尼茨公式。

定理（3）：如果函式 f（x） 是連續函式 f（x） 在區間 [a，b] 上的原始函式，則。

注：這個公式被稱為牛頓-萊布尼茨公式，它進一步揭示了定積分和原函式（不定積分）之間的聯絡。

它表明，連續函式在區間 [a，b] 上的定積分等於其任何乙個原始函式在 [a，b] 上的增量。 原來如此。

給定積分提供了一種有效且簡單的方法來計算它。

示例： 解：我們得到牛頓-萊布尼茨公式：

注：牛頓-萊布尼茨公式通常也被稱為微積分的基本公式。