萊布尼茨公式有什麼用？ 如何使用它？

牛頓-萊布尼茨公式的意義在於，它將不定積分與定積分聯絡起來，也為定積分的運算提供了一種完美而令人滿意的方法。 以下是該公式的工作原理：

我們知道函式 f（x） 在區間 [a，b] 上的定積分表示為：

B（上限） A（下限） F（X） DX

現在讓我們把積分區間的上限作為乙個變數，所以我們定義乙個新函式：

x） = x （上限） a （下限） f（x） dx

但這裡的x有兩個含義，乙個是表示積分的上限，另乙個是表示被積數的自變數，但是在定積分中取被積子的自變數的固定值是沒有意義的。 為了只表示積分上限的變化，我們將被積數的自變數改為另乙個字母，如t，這樣含義就很清楚了：

x） = x （上限） a （下限） f（t） dt

讓我們看一下這個函式 （x） 的屬性：

1. 定義函式 （x） = x （上限） a （下限） f（t） dt，然後 '（x）=f（x）。

證明：讓函式（x）得到δx的delta δx，然後對應的函式遞增。

（x+δx）- x）=x+δx（上限） a（下限） f（t）dt-x（上限） a（下限）f（t）dt

顯然，x+δx（上限） a（下限） f（t）dt-x（上限） a（下限） f（t）dt=x+δx（上限） x（下限） f（t）dt

而 δ =x+δx（上限） x（下限）f（t）dt=f（ ）x（ x（ x和x+δx之間，可以從定積分中的中值定理推導出來，也可以自己畫乙個圖，幾何意義很清楚。 )

當 δx 趨向於 0 時，即 δ趨向於 0，它趨向於 x，並且 f（ ） 趨向於 f（x），因此存在 lim δx 0 δ δx=f（x）。

這也是導數的定義，所以我們最終得到'（x）=f（x）。

2. B（上限） A（下限） f（x） dx = f（b）-f（a），f（x）是f（x）的原始函式。

證明：我們已經證明了 '（x）=f（x），所以 （x）+c=f（x）。

但是 （a）=0（積分區間變為 [a，a]，所以面積為 0），所以 f（a）=c

所以有（x）+f（a）=f（x），當x=b，（b）=f（b）-f（a），和（b）=b（上限）a（下限）f（t）dt，所以b（上限）a（下限）f（t）dt=f（b）-f（a）。

再把t寫成x，就成了開頭的公式，就是牛頓-萊布尼茨公式。

例如，如果區間 （0，+ 有乙個分母 （x-1），則該區間應分為兩個積分，（0,1） 和 （1，+），如果有，則繼續得分。

萊布尼茨公式類似於二項式定理，用於求 f（x）*g（x） 的高階導數。

uv)' u'v+uv'，(uv)'‘u'’v+2u'v'+uv'‘

根據數學歸納法，,......這個萊布尼茨公式可以得到證明。

各個符號的含義。

- 求和符號。

c（n，k） - 組合符號，即 n 和 k 的組合。

u （n-k） - U 的 n-k 導數。

v （k） - v 的第 k 個導數。

這個公式類似於排列中的二項式定理，其中二項式定理的冪在這裡變為階的導數。

UV） 一階導數 = u 一階導數乘以 v + u 乘以 v 一階導數。

UV） 二階導數 = u 二階導數乘以 v + 2 乘以 u 一階導數乘以 v 一階導數 + u 乘以 v 二階導數。

UV） 三階導數 = u 三階導數乘以 v + 3 乘以 U 二階導數乘以 V 一階導數 + 3 乘以 U 一階導數乘以 V 二階導數 + u 乘以 V 三階導數。

萊布尼茨公式：（uv） =n，k=0） c（k，n） ·u （n-k） ·v （k）。

符號含義：

C（n，k） 是 n 和 k 的組合，u （n-k） 是 U 的 n-k 導數，v （k） 是 v 的第 k 個導數。

萊布尼茨公式，也稱為乘積定律，是數學中關於兩個函式乘積導數的計算定律。 與牛頓-萊布尼茨公式不同，萊布尼茨公式用於查詢兩個函式的乘積作為它們的高階導數。

萊布尼茨公式給出了常數積分的導數，在積分符號下具有引數變數。 萊布尼茨是德國自然科學家、客觀唯心主義哲學家和啟蒙思想家。 生於萊比錫，卒於漢諾瓦。

他早年就讀於萊比錫大學，並於 1663 年獲得學士學位。 1667年，他獲得了阿爾特多夫大學的法學博士學位。 他曾擔任美因茨選帝侯的外交官、宮廷顧問和圖書管理員。

1770年，他被選為英國皇家學會院士。

萊布尼茨公式是用於導數計算的公式，它是一種為求兩個函式乘積的高階導數而產生的公式。

推導過程。 如果存在函式 u=u（x） 和 v=v（x），並且它們在點 x 處都有第 n 個導數，那麼很明顯，u（x） v（x） 在 x 處也有第 n 個導數，並且 （u v）（n） =u（n） v（n）。

至於u（x）v（x）的第n個導數比較複雜，根據基本的導數規則和公式，我們可以得到：

uv)' u'v + uv'

uv)''u''v + 2u'v' +uv''

uv)''u'''v + 3u''v' +3u'v'' uv'''

這被稱為萊布尼茨公式

由於名稱的相似性，許多人將牛頓-萊布尼茨公式與萊布尼茨公式混淆，而實際上它們是兩個完全不同的公式。

牛頓-萊布尼茨公式是微積分中的乙個重要公式，它把不定積分和定積分聯絡起來，也為定積分的運算提供了一種完美而令人滿意的方法。 萊布尼茨公式是用於導數計算的公式，它是為求兩個函式的乘積的高階導數而產生的公式。

兩者之間存在根本區別。

高階導數是從萊布尼茨公式複製而來的。

uv） （n） = raid （n，k=0） c（k，n） *u （n-k） *v （k） bai 注：du c（k，n）=n！/(k!

n-k)!）表示後芝平面的括號，其在DAO中的內容為上標，得到xx階的導數。

萊布尼茨公式是微積分的乙個基本定理，它揭示了定積分與被積數的原始積分或不定積分之間的聯絡。

牛頓-萊布尼茨公式由乙個連續函式在區間 [a，b] 上的定積分組成，等於其任何乙個原始函式在區間 [a，b ] 上的增量。

牛頓在他 1666 年的《流動數簡論》中描述了運動學中的這個公式，1677 年，萊布尼茨在乙份手稿中正式提出了這個公式。 因為他們是第乙個發現這個公式的人，所以他們將其命名為牛頓-萊布尼茨公式。

萊布尼茨公式的含義

牛頓-萊布尼茨公式的發現導致了曲線長度、曲線包圍的面積和曲面包圍的體積問題的一般解的發現。 它簡化了定積分的計算，只要你知道被積數的原始函式，你總能找到定積分的精確值或某個精度的近似值。

牛頓-萊布尼茨公式是微積分和積分之間的橋梁，是微積分中最基本的公式之一。 它證明了微分和積分是可逆的運算，同時在理論上標誌著乙個完整的微積分體系的形成，微積分從此成為一門真正的學科。

萊布尼茨公式示例：“DWK 實現”實驗（如果使用）牛頓萊布尼茨公式也會得到答案，但它將與原始答案相差 100,000 倍。

推導：如果存在函式 u=u（x） 和 v=v（x），並且它們在點 x 處都有第 n 個導數，那麼這是顯而易見的。

u（x） v（x） 在 x 處也有第 n 個導數，並且 （u v）（n） = u（n） v（n）。

至於u（x）v（x）的第n個導數比較複雜，根據基本的導數規則和公式，可以得到垂直的姿態：

uv)' u'v + uv'。

uv)''u''v + 2u'v' +uv''。

uv)''u'''v + 3u''v'猜猜+3u'v'' uv'穗書年''。

萊布尼茨定律，又稱乘法定律，是兩個函式乘積的導數的數學計算。

一般來說，如果函式 u=u（x） 和函式 v=v（x） 在點 x 處都有 n 次導數，則有：

牛頓-萊布尼茨公式。

它是微積分中的乙個重要公式，它採用不定積分。

它還與定積分有關，這也為定積分的運算提供了一種完美而令人滿意的方法。