如何用球面三角形的面積公式證明尤拉公式

假設將乙個點光源放置在任何凸多面體中，並製作乙個單位球作為該點光源的中心，凸多面體的頂點、邊和麵將在球上形成投影。 那麼就足以證明在球面上形成的點、線和面滿足尤拉公式。

然後將球面上的所有面都分成三角形，在分割乙個麵時，任何兩個部分在這個面內部不會形成乙個十字，這樣分裂成三角形後，球面投影的面數和線數就會增加，因為每1條線將1個面分成2個面，所以加1條線也會增加1個面， 並且線條和麵的數量是相同的。

假設原來的頂點、邊和面數分別是 v、e 和 f，那麼三角測量後，v 沒有變化，e 和 f 的增加次數相同，因此 f-e+v 的值保持不變。 下面只是乙個 f-e+v=2 的球面三角形。

當所有面都是三角形時，由於每個面有 3 條邊，並且每條邊對 2 個面都是共同的，所以 2e=3f，那麼 f-e=-f 2，v-f 2=2 可以在下面證明。

每個頂點的圓周角 2 被幾個球面三角形的角包圍，所以所有三角形的內角之和為 2 v，球面三角形的面積為 a+b+c-，則所有三角形的面積為：所有三角形的內角之和 - f， 所有三角形的面積之和為球面面積4，即2 v- f=4，方程的兩條邊除以2得到：v-f 2=2，問題就得到了證明。

尤拉公式是通過拓撲方法證明的。

試試尤拉公式：對於任何多面體（即所有面都是平面多邊形且沒有孔的實心立方體），假設 f、e 和 v 分別表示面、邊（或邊）和角度（或頂部）的數量。

f-e+v=2。嘗試使用拓撲方法證明多面體的面數、邊數和頂點數的尤拉公式。

證明：1）多面體（圖中）被看作是乙個空心的立方體，橡皮擦表面很薄。

2）去掉多面體的一面，可以在平面上完全開啟，在平面上得到一條直線，如圖所示。假設 f、e 和 v 分別表示這個平面圖的（簡單）多邊形、邊和頂點的數量，我們只需要證明 f -e +v = 1。

3）對於這個平面圖形，進行三角形分割，即對於還不是三角形的多邊形，對角線乙個接乙個地引入，直到它們變成一些三角形，如圖所示。每次引入對角線時，f 和 e 都會增加 1，而 v 不會改變，因此 f -e +v 不會改變。 因此，當完全拆分為三角形時，f-e +v 的值保持不變。

一些三角形在平面形狀的邊界上有一條或兩條邊。

4）如果乙個三角形的邊界上有一條邊，例如圖中的abc，則刪除三角形中不屬於另乙個三角形的邊，即ac，這樣abc也被刪除。所以 f 和 e 各自減去 1 並且 v 不會改變，所以 f -e +v 也不會改變。

5）如果乙個三角形的邊界上有兩條邊，例如圖中的def，則刪除該三角形中不屬於其他三角形的邊，即df和ef，以刪除def。 所以 f 減 1，e 減 2，v 減 1，所以 f -e +v 保持不變。

6） 繼續這樣做，直到只剩下乙個三角形，如圖所示。此時 f = 1， e = 3， v = 3，所以 f -e +v = 1-3 + 3 = 1。

7）因為原來的圖形是相連的，中間引入的各種變化並沒有破壞這個事實，所以最終圖形還是相連的，所以最後不會像圖中那樣是向外散落的幾個三角形。

8） 如果它最終如圖所示，我們可以刪除其中乙個三角形，即刪除 1 個三角形、3 條邊和 2 個頂點。所以 f-e+v 保持不變。

即 f -e +v = 1

尤拉公式：

f-e+v=2。

我明白了，我很感激。

乙個不是哦古人，包括奴僕和女僕的挪用，哦不是耦合，很難承認小飢餓的人正在得到一天。

這可以通過進展來證明。

阿姆斯特朗，基本拓撲，當然不是很詳細 可以考慮先得到n邊的面積公式

你給了我乙個優先權，我發誓我會告訴你怎麼做。

最好的方法是問你的老師。

可以使用平面投影方法，加上高數中的二次曲面分割。

我受教育程度不如你，所以我幫不了你

什麼是球面三角形面積公式？

這裡面有嗎？ 不，我正在尋找其他任何東西。

阿姆斯特朗，基本拓撲，當然不是很詳細

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