高中競賽排名不平等，數學競賽排名不平等

切比雪夫不等式使用了兩次。

首先，左邊待證明的不等式可以直接用切比雪夫不等式來證明。 切比雪夫不等式中的 ai 是 ai p，bi 是 1 （m+k-ai） q。 當然，我們必須首先解釋為什麼切比雪夫的不等式可以在這裡使用。

對於 AI （i=1,2,...，r），按降序排列，ai1 <= ai2 <=......< = 空氣，則有 1 （m+k-ai1） < = 1 （m+k-ai2） <=......< = 1 （m+k-空氣），則排序方向分別在 P 和 Q 冪後保持不變。 這導致不等式左側的 a 大於或等於 a * b r。 其中 a 是 ai p，從 1 到 r 求和; b 是 1 （m+k-ai） q，從 1 到 r 求和。

然後，我們需要使用切比雪夫不等式的 r 項推廣形式，即先取 ai = bi（這實際上給了你柯西的不等式），然後將結果推廣到 r 的冪（你可以認為切比雪夫的不等式和柯西的不等式之間可能存在聯絡？ )。然後用這個廣義不等式來證明前面的 A 和 B 分別大於或等於其他兩個方程。

其中 a 大於或等於 k p * r （1-p） 且 b 大於或等於 r （1-q） *c，其中 c = [ 1 （m+k-ai）] q 在括號中求和 1 到 R。

最後，找到 c，並使用大於或等於諧波平均值的算術平均值得到大於或等於 r （2q） （mr+kr-k） q 的 c。 最後，建立了簡化的結論。

算術均值和調和均值的表示在我的空間裡，但是我的諧波均值公式有誤，分子應該是n，而不是1，沒有發現原來的疏忽，對不起）。

第一行的 n 高於第二行。

你不妨設定 b1<=b2<=....=bn，當 a1>=a2>=....=an，bi aj 是最大值。

因此，讓我們假設 b1<=....=bn，a1>=...=an

這裡我們假設 a[n-1] 大於 0，否則 bi aj=0 被證明。

bi∏aj = a1*..a[n-1] *bn + an * b1/a1 + b2/a2 + b[n-1]/a[n-1]))

由於 1 a1 < = 1 a2< = ....=1 a[n-1]，,..上述公式分母的 a1，a2A[n-2] 全部調整為 A[n-1]。

所以 bi aj <= a1*。a[n-1] *bn + an * b1+b2+..b[n-1])/a[n-1])

a1*..a[n-1] *bn + an * 1-bn)/a[n-1]) = a1*..a[n-2] *bn*a[n-1] +1-bn)*an)

設 s = a[n-1] +an，則 a[n-1] > = s 2

所以 bn*a[n-1] +1-bn）*an = bn*a[n-1] +1-bn）*（s-a[n-1]） = （1-bn） *s + 2bn-1） *a[n-1]。

當 bn>=1 2， （1-bn） *s + 2bn-1） *a[n-1] <= （1-bn） *s + 2bn-1） *s = bn * s <= p*s

當 bn<1 2， （1-bn） *s + 2bn-1） *a[n-1] = （1-bn） *s - 1-2bn） *a[n-1] 時。

1-bn) *s - 1-2bn) *s/2 = s/2 <= p*s

總之，（1-bn） *s + 2bn-1） *a[n-1] <= p*s

所以 bi aj <= a1*a2*。a[n-2]*p*s = p * a1*a2*..a[n-2]*s)

由於 a1+a2+...a[n-2]+s = 1，所以 a1*a2*。a[n-2]*s <= 1/(n-1)^(n-1)

所以 bi aj <= p （n-1） （n-1）。