什麼是函式的週期性和對稱性，以及函式的週期性和對稱性

你問對了人，影象不是直線，而是分段函式，你畫的圖是認真存在的，我個人有個結論：

奇數函式 + 對稱性產生對稱性 （1） 的 4 倍的週期。

偶數函式 + 對稱性產生對稱性 （2） 的 2 倍的週期。

反之亦然，這裡就不贅述了，上面的結論我就給大家證明一下。

證明 （1） 函式相對於 x=a 是對稱的，則有 f（2a+x）=f（0-x）。

代入奇函式屬性，得到 f（x+2a）=f（-x）=-f（x）。

用 x+2a 代替 x 得到 f（x+4a）=-f（x+2a）=-（-f（x））=f（x），即 f（x+4a）=f（x） 是乙個週期函式，週期為 4a

證明 （2） 函式相對於 x=a 是對稱的，則有 f（2a+x）=f（0-x）。

代入偶數函式的性質，得到f（x+2a）=f（-x）=f（x），即f（x+2a）=f（x）為週期函式，週期為2a

現在解決你的問題：f（-25）=f（-1） f（80）=f（0） f（11）=f（3）=f（1） （因為函式相對於 x=2 是對稱的）。

因為是奇數函式，定義字段包含0，所以f（0）=0（這是常識，如果假設不等於0，就會出現當x=0時y取兩個值，這違背了函式不能是一比二的原則）。

奇數函式不會改變單調性 [-2,0]，這也是乙個遞增函式。

所以 f（-1） 是 f（-25）。

高三數學]功能對稱性和週期性。

函式的週期性和對稱性是指函式中的屬性。 然後像這樣的函式的屬性主要在 中找到。 在高中的知識點，再說到函式的對稱性相關方面，對稱性是指函式的形象包含兩部分的知識，即與坐標軸上的點對稱，或與坐標軸上的軸對稱。

然後有兩個相關的函式，乙個是點對稱影象，另乙個是軸對稱影象。 那麼第二個是週期性，它指的是某個定義中是常數的某種含義，然後如果能夠出現這個常數這樣的公式，那麼這個公式的內容就可以稱為週期函式，那麼t就叫這個函式的週期。

函式的週期性和對稱性的口頭禪是對稱差的週期。

如果 f（x+a）=-f（x+b），則還有乙個減號。 （x+a）-（x+b）=a-b，週期x2。 週期性，t=2|a-b|。

如果 f（x+a）=-f（x+b），則還有乙個減號。 （x+a）+（x+b）=a+b，軸變為中心。 對稱性，對稱中心（（a+b） 2,0）。

性質： 1.如果函式 f（x）（x d） 在定義的域中有兩個對稱軸 x=a 和 x=b，則函式 f（x） 是乙個週期函式，週期 t=2|b-a|（不一定是最短的正週期）。

2. 如果函式 f（x）（x d） 在定義的域中有兩個對稱中心 a（a，0） 和 b（b，0），則函式 f（x） 是乙個週期函式，週期 t=2|b-a|（不一定是最短的正週期）。

3.如果函式f（x）（x d）在定義的域中具有對稱軸x=a和對稱中心b（b，0）（a≠b），則函式f（x）是週期函式，週期t=4|b-a|（不一定是最短的正週期）。

函式的週期性和對稱性的口頭禪是對稱差的週期。

如果 f（x+a）=-f（x+b），則還有乙個減號。 （x+a）-（x+b）=a-b，週期x2。 週期性，t=2|a-b|。

如果 f（x+a）=-f（x+b），則還有乙個減號。 （x+a）+（x+b）=a+b，軸變為中心。 對稱性，對稱中心（（a+b） 2,0）。

性質： 1.如果函式 f（x）（x d） 在定義的域中有兩個對稱軸 x=a 和 x=b，則函式 f（x） 是乙個週期函式，週期 t=2|b-a|（不一定是最短的正週期）。

2. 如果函式 f（x）（x d） 在定義的域中有兩個對稱中心 a（a，0） 和 b（b，0），則函式 f（x） 是乙個週期函式，週期 t=2|b-a|（不一定是最短的正週期）。

3.如果函式f（x）（x d）在定義的域中具有對稱軸x=a和對稱中心b（b，0）（a≠b），則函式f（x）是週期函式，週期t=4|b-a|（不一定是最短的正週期）。

功能對稱性結論：y=f（|x|） 是乙個偶數函式。

它相對於 y 軸是對稱的。

y=|f（x）|它是將 x 軸下方的影象對稱到 x 軸的頂部，但無法確定它是否對稱。 例如，y=|lnx|沒有對稱性，y=|sinx|但是有對稱性。

1、f（x＋a）＝－f（x）

那麼 f（x 2a） f （x a） 是寬而純的 a f（x a） f（x） f（x）。

所以 f（x） 是乙個週期為 2a 的週期函式。

2. 差值 f（x a） 1 f（x）。

然後 f（x 2） f（x ） a） 1 f（x a） 1 （1 f（x）） 小心 f（x）。

所以 f（x） 是乙個週期為 2a 的週期函式。

1：對稱性：函式：f（a+x）=f（b-x）成立，f（x）相對於直線x=（a+b）2是對稱的。

f（a+x）+f（b-x）=c，f（x）相對於點（（a+b）2，c 2）是對稱的。

兩個函式：y=f（a+x） 和 y=f（b-x） 相對於直線 x=（b-a） 2 是對稱的。

證明：取函式上的乙個點 （m，n） 來證明經過對稱變換的點仍在函式上。

例如，中心對稱公式證明點（m，n）取函式，對稱點為（a+b-m，c-n）。

f（a+（b-m））+f（b-（b-m）=c 則 f（a+（b-m））+n=c，也就是說 f（a+（b-m））=c-n 也是乙個函式。

2.週期性：f（x+a） = f（x） 週期 2a

f（x+a） = 或 1 f（x） 週期 2a

證明：設週期為 na，f（x+na）=。f(x)

3.週期性和對稱性同時出現，找到週期（定義為r上的函式），然後可以通過繪圖得到直觀的答案。

對於 x=a，x=b 對稱週期 2 （a-b）。

關於 （a，0） 和 x=b 的對稱性 每週顛簸期 4 （a-b）。

如圖所示，週期 4（a-b） 的 （a，0） 和 x=b 對稱性：f（x） = f（2a-x）。

f(x)=f(2b-x)

f(2a-x) =f(2b-x)

f(2a+x) =f(2b+x)

f(x+4(a-b))=f(x+2a-2b)=f(x)

示例：y=f（x） 滿足 f（x+1）=f（1-x） 和 f（x+3）=f（3-x），週期為 4

證明 f（x+1）=f（1-x）=f（3+（-2-x））=f（3-（-2-x））=f（x+5）.

1）如果乙個功能的影象有兩對手指，那麼笑叢功能就是乙個週期性功能。

2）如果函式的影象具有兩個對稱軸。

那麼這個函式就是乙個週期函式。

3）如果函式的影象具有對稱點和對稱軸，則該函式是週期函式。

1.對稱性 f（x+a）=f（b x） 請記住，這個方程是對稱的一般形式。 只要 x 有正數和負數。 有對稱性。 至於對稱軸，你可以通過吃公式找到 x=a+b 2

例如，f（x+3）=f（5 x） x=3+5 2=4 等。 這個公式對於那些不知道方程式但知道兩個方程式之間關係的人來說很常見。 你可以應用它，但我不會在這裡給你乙個例子。

對於需要對稱軸的已知方程，首先，您必須記住一些常見的對稱軸對稱方程。 例如，原始二次方程 f（x） = ax2 + bx + c 對稱軸

原函式和反函式的對稱軸為

而對於一些沒有約束的函式，很難說它們的對稱軸像三角函式一樣，它的對稱軸不僅是度數，而且是度數等等，因為他的定義是

他的對稱軸還指出，通過簡單函式平移後需要的一些對稱軸可以反轉為平移的次數，然後可以將平移的次數相加

例如，（ let then （ 可以看出，原來的方程從初等函式中向右移動了單位，對稱軸也向右移動了單位，記住平移是左加右減法的一種形式，如本問題所述），至於週期性， 我們首先從一般形式（

請注意，方程充滿了相同的符號，不像對稱方程那樣是正數和負數，這種區別也是確定對稱性或週期性的關鍵

另外，請記住一些常見的週期函式，例如三角函式，什麼是正弦函式、余弦函式、切函式等，當然，它們的最小週期當然是。

他們的週期不止於此，只要是其最小週期的正倍數，就可以是問題的週期，例如（

但如果是（，那麼它的週期是因為將絕對值相加後，軸下方的圖轉向頂部，從圖中不難看出最小對稱週期

y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2

y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2

上面的等式

而對於週期函式方程的加減復合方程，如果它們的週期相同，那麼它們的週期仍然相同，y=sin2x+cos x，因為它們有乙個共同的週期，所以它的週期是

對於不相同的期間，則其週期是其各自週期的最小常見倍數，例如。

y=sin x+cos x

是不是f（x）有乙個自變數，比如f（x-b）=f（x-a）自變數加起來除以2就是乙個常數，那麼看對稱軸，如果相位減除2是乙個常數，那就看週期，所以上面的例子看週期t=a-b 這是老師在複習我們的時候教的， 這是非常有效的