比率判別法用於確定序列的背離

比率判別法確定的序列的發散度為：後一項與前項相比的極限，收斂度小於1，大於1發散度。

lim(n→+∞5^(n+1)/(6^(n+1)-5^(n+1))]/[5^n/(6^n-5^n)]

lim（n + 5[1-（5 6） n] [6-5（5 6） n]=5 6 1，所以級數收斂。

2..lim(n→+∞u(n+1)/u(n)

lim(n→+∞n+1)^(n+1)/(n+1)!]/[(n)^(n)/n!]

lim（n + 1+1 n） n=e>1，據說是串聯發散。

問題中的級數顯然是乙個正級數，一般項 u（n）=5 n （6 n-5 n），lim（n + u（n+1） u（n）=lim（n + 5（6 n-5 n） [6 （n+1）-5 （n+1）]=lim（n + 5[1-（5 6） n] [6-5（5 6） n]=5 6 1，根據正級數的 d'Alembert 判別法， 中間系列收斂。

這個問題的關鍵是不要預設收斂級數是正級數。

級數的一般項是 b[n] = （na （n+1）） n = a n （（n+1） n） n

則 b[n+1] b[n] = （a （n+1） （（n+2） （n+1）） n+1）） （a n （（n+1） n） n）。

a·((n+1)/n)^n/((n+2)/(n+1))^n+1).

當 n 時，（n+1） n） n = （1+1 n） n 收斂為 e，並且 （（n+2） （n+1）） n+1） 也收斂為 e

因此 b[n+1] b[n] 收斂為

根據比率判別法，當 0 < < 1 時，序列收斂，當 > 1 時，序列收斂。

當 a = 1 時，b[n] = 1 （1+1 n） n 收斂於 1 e > 0，並且級數一般項不趨向於 0，因此級數也發散。

總之，級數 （na （n+1）） n 在 0 < a < 1 處收斂，在 1 處發散。

注意：實際上，對於這個問題，使用比較判別方法更方便，因為很容易證明 b[n] 和 a n 是同一順序的。

第乙個小於 1 2，所以它收斂。

第二個也小於 1，只要 a 大於 1，級數就會收斂。 等於 1，則級數發散。 收斂。

第三個分歧。 根據收斂級數，一般項的極限為 0 的逆定理。 這個一般術語的極限不是 0，所以它發散了。

第四，當n大於某個n時，ln（n-1）小於n-1所以 1 ln（n-1）<1（n-1）所以這個問題有分歧。

遞增和： 0 原始 1 2+1 1 2+1 2 3+1 3 4+1 4 5....limit），所以原來的收斂。