什麼是貝塞爾函式？ 它的數學性質是什麼？

貝塞爾函式是數學中一類特殊函式的總稱，是貝塞爾方程組（不能用初等函式組表示）的解，它們與其他函式組合形成條形調和函式。 除了基本函式外，貝塞爾函式是物理學和工程學中最常用的函式，它們以 19 世紀德國天文學家貝塞爾的姓氏命名，貝塞爾函式於 1824 年首次描述它們。

一般貝塞爾函式是以下常微分方程（通常稱為貝塞爾方程）的標準解函式 y（x）。

x2d2ydx2+xdydx+(x2−α2)y=0

或 x2y +xy +（x2 2）y=0

作為二階常微分方程，上述函式必須有兩個線性獨立的解。 此外，貝塞爾函式是通過求解拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程，採用圓柱球坐標中變數分離的方法得到的，因此貝塞爾函式在漲落問題和涉及勢場的各種問題中起著重要作用。

貝塞爾函式的具體形式隨方程中的實引數而變化，稱為貝塞爾函式的階數。 在實際應用中，通常為整數 n，對應於 n 階貝塞爾函式。 雖然公式中的正負性質不會改變函式形式，但在實踐中習慣上為 和 定義兩個不同的貝塞爾函式，這有一些優點（例如消除了函式在 =0 時的不平滑性）並且大於 0。

使用圓柱坐標解決涉及圓、球和圓柱體內勢場的物理問題時出現的一類特殊函式。 也稱為標量函式。 求解具有圓柱坐標的泊松方程時，可以使用分離變數法獲得貝塞爾方程

Bessel Fang Zhi Cheng.

貝塞爾函式首先用於懸鏈線振盪、長圓柱冷談和張力膜振動等問題。 貝塞爾函式族，也稱為第一類貝塞爾函式，記為 jn（x），由 x 的偶數冪的無限和定義，數字 n 稱為貝塞爾函式的階數，這取決於函式試圖解決的問題。 J0 （x） 的圖形就像一條衰減的余弦曲線，J1 （X） 就像一條衰減的正弦曲線（見圖）。

第二類貝塞爾函式（也稱為諾依曼函式），表示為 yn（x），由第一類貝塞爾函式的簡單組合定義。 第三種型別的貝塞爾函式（也稱為漢克爾函式）定義為 hn jn iyn，其中 i 是乙個虛數，可以用 n 階（正或負）貝塞爾函式求解，稱為貝塞爾方程的微分方程。

它是數學中一類特殊函式的總稱。 一般貝塞爾函式是以下常微分方程（通常稱為貝塞爾方程）的標準解函式：

這種方程的解不能用初等函式系統地表示。

貝塞爾函式的具體形式隨上式中任何實數的變化而變化（游泳型別的相位應稱為其相應貝塞爾函式的階數）。 實際應用中最常見的情況是整數，相應的解稱為n階貝塞爾函式。 雖然正負號不會改變上述微分方程中方程的形式，但仍然習慣於為 and 定義兩個不同的貝塞爾函式（其優點是消除了函式在點上的不平滑性）。

貝塞爾方程是在求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時，使用分分圓柱坐標或球面坐標中的變數的方法得到的（在圓柱場問題中，得到整數形式n; 在球面場問題中以半奇數階形式 n+） 獲得，因此貝塞爾函式在漲落問題以及涉及勢場的各種問題中占有非常重要的位置，其中最典型的是：

電磁波在圓柱形渣波導中的傳播;

氣缸中的熱傳導問題;

圓皮（或環形）薄膜的振動模式分析;

在某些領域中，貝塞爾函式也非常有用。 例如，貝塞爾函式用於FM合成或訊號處理中的Kaiser視窗以及波聲學。