如何計算多項式的有理根，求多項式的有理根

演算法：p（x） = anx+an 1x+a1x+a0，a0, .an∈z,p(p/q) = 0 ，p,q∈z:

A0QN 可被 P 整除，因為 P，Q 是互質。

所以 a0 可以被 p 整除，p 是 a0 的因數。 同樣，可以證明 q 是 an 的因數。

有理根定理。

定理：讓我們成為有理係數方程 f（x）=a x+。乙個 x+a，其中 ≠0。

如果有乙個有理數 x 是 f（x） 的根，則很明顯 x = s t，其中 s， t z 和 （s， t） = 1，則 |t|可分割 |a 和 |s|可分割 |a |。

應用： 示例：求 f（x）=x-6x+15x-14 的所有復根。

解：f（x） 有乙個有理根 s t，則 t|1,s|14.因此 t=1。

當 x<0 時，總是有 f（x）<0然後是 f（x） 的真根。

只能大於 0，s。

引入 f（x） 檢驗表明 2 是 f（x） 的根，x-2 除以 f（x） 得到 q（x）=x-4x+7。

q（x） 的根是 2 3i

f（x） 的根是 3 i

證明 ： p（x） = anx+an 1x+ .a1x+a0，a0, .

乙個 z，p（p q） = 0 ，p，q z：-a0qn 能被 p 整除，因為 p，q 是互質的，所以 a0 能被 p 整除，p 是 a0 的因數。 同樣，可以證明 q 是 an 的因數。

整數係數方程 anx n + a（n-1）x （n-1） +a2x 2 + a1x + a0 = 0 的有理根 x = p 滿足於 p：p 可被 a0 整除，q 可被 an 整除。

演算法：p（x） = anx+an 1x+a1x+a0，a0, .an∈z,p(p/q) =0 ，p,q∈z:

a0qn 能被 p 整除，因為 p、q 是互質的，所以 A0 能被 p 整除，p 是 a0 的因數。 同樣，可以證明 q 是 an 的因數。

有理根定理。

定理：讓我們成為有理係數方程 f（x）=a x+。乙個 x+a，其中 ≠0。

如果 Huiju 有乙個有理數 x，它是 f（x） 的根，那麼很明顯 x = s t，其中 s， t z 和 （s， t） = 1，則 |t|可分割 |a 和 |s|可分割 |a |。

應用： 示例：找到所有復合旦根的 f（x）=x-6x+15x-14。

解：f（x） 有乙個有理根 s t，則 t|1,s|14.因此 t=1。

當 x<0 時，總是有 f（x）<0那麼 f（x） 的實根只能大於 0，s。

引入 f（x） 檢驗表明 2 是 f（x） 的根，x-2 除以 f（x） 得到 q（x）=x-4x+7。

q（x） 的根是 2 3i

f（x） 的根是 3 i

證明 ： p（x） = anx+an 1x+ .a1x+a0，a0, .

乙個 z，p（p q） = 0 ，p，q z：-a0qn 能被 p 整除，因為 p，q 是互質的，所以 a0 能被 p 整除，p 是 a0 的因數。 同樣，可以證明 q 是 an 的因數。

f（x）=x^3-2x^2-(4x^2-15x+14)=(x-2)x^2-(x-2)(4x-7)=(x-2)(x^2-4x+7)=（x-2)[(x-2)^2+3]

例如：p（x） = anx+an 1x+ 。a1x+a0，a0, .

乙個 z，p（p q） = 0 ，p，q z：-a0qn 能被 p 整除，因為 p，q 是互質的，所以 a0 能被 p 整除，p 是 a0 的因數。 同樣，可以證明 q 是 an 的因數。

f（x）=x^3-2x^2-(4x^2-15x+14)=(x-2)x^2-(x-2)(4x-7)=(x-2)(x^2-4x+7)=（x-2)[(x-2)^2+3]

所以多項式的有理根是 x=2

如果它有乙個有理根，這個有理根一定是14的因數，總共1、14、2、7和它們的對立面，8試著知道。

嘿 嘿 嘿。

我會再問一次嗎？

詢問有關大學的問題。

對不起，對不起。 問乙個好問題。

f(x) =x^3-6x+15x-14

x 3 的係數 = 1

常數係數 = -14

有可能的根源。

整數係數方程 anx n+a（n-1）x （n-1）+a2x +a1x + a0=0 的有理根 x=p q。 滿意：

p 可被 a0 整除，q 可被 an 整除。 要求整數係數方程的有理根，你只需要分解 an 和 a0 的質因數，然後找出所有的 p q，並將它們代入乙個個實驗中，滿足根，而不是根。

多項式 f r[x1,.. 給出xn] 以及 R 代數 a。 右（a1,..

an） an，我們將 f 中的 xj 替換為 aj，並得到 a 中的乙個元素，表示為 f（a1....an)。這樣，f 可以看作是從 an 到 a 的函式。

如果 f（a1....an）=0，則 （a1....an） 稱為 f 的根點或零點。

例如，f=x 2+1。 如果 x 被認為是實數、複數或矩陣，那麼 f 將沒有根、兩個根和無限根！

例如，f=x-y。 如果 x 被認為是實數或複數，那麼 f 的零集是所有 （x，x） 的集合，這是一條代數曲線。 事實上，所有的代數曲線都來自此。

此外，如果所有係數都是實多項式 p（x） 具有復根 z，則 z 的共軌複數也是根。

如果 p（x） 有 n 個重疊的根，則 p'（x） 有 n-1 個重疊的根。 即，如果 p（x）=（x-a） nq（x），則 a 是 p'（x） 的重疊根，並且有 n-1。

為了確定多項式是否有任何有理根，使用了該定理，如果有，則可以找到它們。 由於該定理給出了乙個完全約化的有理根的分子和分母作為對某些數的除數的約束，因此可以檢查除數的所有可能組合，或找出合理的根，或確定不存在。 如果找到乙個或多個，它們可以從多項式中分解出來，從而產生較低階的多項式，其根也是原始多項式的根。

方法一：設 f（x）=x 2+2x+1 z6[x]，可以類似於復域上多項式的平方：f（x）=（x+1） 2，但要注意 f（x） 的係數都是 z6 的元素。 f（x） 的根是 x=-1=5

方法二：設 f（x）=x 2+2x+1 z6[x]，則 f（x） 要麼在 z6 中沒有根，要麼有根 z6=，值得取，所以將 z6 元素一一代入 f（賣 x），驗證是否等於 0，有： f（0）=1， f（1）=4， f（li 2）=9=3， f（3）=16=4， f（4）=25=1， f（5）=36=0;f（x） 的根是 x=5

請注意，環上多項式的零點不一定直接被根公式使用。

多項式是已知的。

a|＝|1 1 1 1|

2 x 1 -1|

1 1 x 2|

2 2 2 x|

將第一行的 2 倍新增到第二行，將第一行的 -1x 新增到第三行，將 -2x 新增到第四行，1 1 1 1|

0 x+2 3 1|

0 0 x-1 1|

0 0 0 x-2|

x+2)(x-1)(x-2)＝0

解決的辦法是三個根源是。

x1＝-2,x2＝1,x3＝2。

整數係數是單變數 n 次多項式 f（x） = a0x n +a1x n-1 +an，如果 n m 是有理根，那麼 n 一定是 an 的除數，m 一定是 a0 的除數，那麼我們可以嘗試找到 f（n m）=0？ f(-n/m)=0?

樓上說得好，下面我再補充幾句。

1.如果你能一目了然地看到乙個值（你不妨把它設定為1），那麼你可以將（x-1）除以乙個更高的多項式，這應該是乙個損失，就像除法一樣，然後你得到（x-1）和乙個商的乘積。 如果可以的話，按照上述方法進行。

商數會逐漸減少，難度也會相應降低。

2.要分解因子，可以參考 1方法。 我不會在這裡詳細介紹。

3.有些多項式可以寫成 （） n+（）n+......0（其中n為偶數，一般為2），則每項為0，對應的解就不用多說了。

4.順便說一句，當涉及到根數的出現時，我們通常將根數設定為變數。 例如：

x+（x+1）=0

設 （x+1） a，有。

a^2+a=0

此外，您必須注意以下值為非負值，並在結果完成後，替換根以驗證合理性。 這是我們經常容易犯的錯誤。

好了，今天就到這裡了，我好累。