已知 P 是邊長為 1 的等邊三角形 ABC 中的任何點。 驗證 3 2 PA PB PC 2

設 P 到 ABC 三邊的距離為 x y z

1/2*(x+y+z)*1=1/2*1*√3/2

所以 x+y+z= 3 2

做PB超過P'AC 為 B'

在 P 上做 PC'AB 為 AC'

做PE AB在p上，將AB交叉到E，PE=X

做 PF AC over p，交叉 AB 到 f，PF=y fc'=y/√3,ac'=pb'=2x/√3

pa=√(y^2+(y/√3+2x/√3)^2)=√(4/3*(x^2+xy+y^2))

2xy≤x^2+y^2

3x^2+3y^2+4xy+2xy≤3x^2+3y^2+4xy+x^2+y^2

3(x+y)^2≤4(x^2+y^2+xy)

pa≥(x+y)

pa+pb+pc≥2(x+y+z)=√3>3/2

由於點 p 在三角形中，x，y，z 都是 》0，pa= （4 3*（x 2+xy+y 2））< 4 3*（x 2+2xy+y 2）） = （4 3）*（x+y）。

pa+pb+pc=2/√3 *(x^2+xy+y^2)+√y^2+yz+z^2)+√z^2+xz+x^2))

2/√3 *(x^2+2xy+y^2)+√y^2+2yz+z^2)+√z^2+2xz+x^2))

2/√3*(x+y+y+z+z+x)=2

三角形在兩邊，比第三邊大。

所以PA+PB>AB

pb + pc > bc

pc + pa > ac

左邊和右邊都加在一起。

2（Pa + Pb + Pc）> ab + bc + ac 再次 ab=bc=ac=1，ab+bc+ac=3，所以 2（pa + pb + pc）> 3 在兩邊除以 2 Pa+Pb+Pc>（3 2）。

此外，點 P 可能在 ABC 邊界上，當點 P 與 A 或 B 或 C 重合時，Pa+PB+PC 的最大值為 2

但是，該條件指出 p 點在 abc 內部，因此 pa+pb+pc2 在 3 2 上組合

這個問題引出了乙個眾所周知的定理：p 是任何三角形 abc 中的乙個點，那麼當 apb= bpc= apc=120 時，pa+pb+pc 達到最小值。 我將簡要證明這一點：

將三角形 APC 60 圍繞三角形 A 的點 C 順時針旋轉'p'c 因為 PCP'=60`,pc=p'c 所以 pp'c 是等邊三角形。

設 P 到 ABC 三邊的距離為 x y z 1 盛和 2*（x+y+z）*1=1 2*1* 3 2，所以 x+y+z= 3 2 在 p 上使 pb'AC 為 B'在 P 上做 PC'Sizakura ab 為 ac'超過 p 做 pe 嘈雜的土地 ab，傳遞 ab 到 e，pe=x 超過 p 做 pf ac，傳遞 ab 到 f，pf = y fc'=y/√3,ac'=pb'=2x 3 PA= （y 2+（y 3+2x 3） 2）= 4 3*（x 2+xy+y 2）） 2xy x 2+y 2 3x 2+3y 2+4xy+2xy 3x 2+3y 2+4xy+x 2+y 2 3（x+y） 2 4（x 2+y 2+xy） pa （x+y） pa+pb+pc 2（x+y+z）= 3>3 2 由於 p 點在三角形內， x，y，z 都是 0，pa= （4 3*（x 2+xy+y 2）））。

p 是中點 l 處的最小值，lmin 3

p 在任何頂點的 l 值最高，lmax 2

然後：3公升2

其中“3”代表根數 3

用單詞表示為 l，大於或等於根數 3，小於或等於 2

設 a（xa，ya）、b（xb，yb）、c（xc，yc）、p（xp，yp）。

pa|^2 + pb|^2 + pc|^2

xa - xp)^2 + ya - yp)^2 + xb - xp)^2 + yb - yp)^2 + xc - xp)^2 + yc - yp)^2

3xp^2 - xa + xb + xc)xp + 3yp^2 - ya + yb + yc)yp + xa^2 + xb^2 + xc^2 + ya^2 + yb^2 + yc^2)

xp - xa + xb + xc)/3)^2 + yp - ya + yb + yc)/3)^2 + xa^2 + xb^2 + xc^2 + ya^2 + yb^2 + yc^2 - xa + xb + xc)^2/9 - ya + yb + yc)^2/9)

引數是 xp = xa + xb + xc） 3， yp = ya + yb + yc） 3， p 是 abc 的重心。

pa|^2 + pb|^2 + pc|2 年齡最爐子準備量小值。

不妨做 a（-a 2,0）， b（a 2,0）， c（0， 3a 2）。

p（0， 3 6a）。

pa|^2 + pb|^2 + pc|^2 = 3*(√3a/3)^2 = a^2

將 apc 圍繞點 A 旋轉 60° 到 amb Bibi amb apc am=ap=3，BM=cp=5， mab= pac map= mab+ pab= pac+ pab= ba= 60° apm 是乙個等邊三角形，pm=am=ap=3， apm=60° 勾股定理 mp 在第乙個數字 +bp =25=bm bpm= apm....

證明：2t=（pa+pb）+（pb+pc）+（pc+pa）>ab+bc+ca=3

t>的下邊緣證明Pa+PB+PC<2AB可以證明T<2通過P點作為BC側的平行線EF，以及AB的等邊三角形，AC分別在E和F δABC，AFE ABC 60°，APE AFE和APE 60°

在 δAEP 中，ape aep、ae ap δaef 是等邊三角形，ae ef af ae ap、be ep bp、pf fc pc、ae （eb ep） （pf fc） ap pb pc，即 ab ef fc pa pb pc、pa pb pc ab ac 2ab=2

即< T<2 認證。