你如何找到平面的法向量？

例如，直線的方程為 ax+by+c=0

它的法向量是 （a，b）。

看起來是這樣，但事實並非如此簡單。

這只是乙個案例---平面上的一條直線。

一條線垂直於該平面中的兩條線，該線是該平面的法向量。 但以坐標的形式。

這本數學高中教科書有它，它是用立體幾何教的，是這本書的新版本。

如何找到平面的法向量。

它在高中數學教科書中。

我的家人有答案，你來找我，我給你。

實質性作用。 這個定理實際上表明，乙個平面向量可以在任意指定的兩個方向上分解，它還表明，乙個給定的向量可以從任意兩個向量合成，即乙個向量的合成和分解。 當兩個方向相互垂直時，它們實際上在平面笛卡爾坐標系中被分解，（x，y）稱為該向量的坐標。

該向量的起點是原點），因此該定理為向量的坐標表示提供了理論基礎。

坐標製圖表達。 在平面笛卡爾坐標系中，以x軸和y軸方向相同的兩個單位向量i和j為底，a是坐標平面上的任意向量，坐標原點o作為向量op=a。 平面向量有乙個基本定理，即只有一對實數 x 和 y，使得 .

向量 op=習+yj。

因此向量 a=習+yj。

我們將實數 （x，y） 對稱為向量的坐標，表示為：a=（x，y）。

顯然，其中 （x，y） 是點 p 的坐標。

向量運算稱為點 p 的位置向量。

通用尺寸。 共麵量的基本定理：如果兩個向量 A 和 B 不共線，則向量 p 與向量 A 和 B 共面的充分和必要條件是存在唯一的 x 和 y 實數對，因此 p=xa+yb。 （x，y 不全為零）。

感應反射。 1 平面向量的基本定理是平面向量坐標表示的基礎，它指出同一平面中的任何向量都可以表示為另外兩個非共線向量的線性組合。

2.在求解具體問題時，適當選擇基體，使其他向量可以由基體表示，並選擇兩個非共線向量，平面內的任何向量都可以唯一表示，從而將幾何問題轉化為代數問題。

我數學很糟糕...... 嘿。

直接方法：找到一條垂直於平面的直線，並找到該線的方向向量。 待定係數法。

建立空間笛卡爾坐標系。

設定平面的法向量。

是 n=（x，y，z）。

在平面中查詢兩個非共線向量 a 和 b。

建立乙個方程組：n 個點乘以 a=0，n 個點乘以 b = 0。

要求解方程組，請採用其中乙個解決方案。

法向量是空間解析幾何的乙個概念，由垂直於平面的直線表示的向量是該平面的法向量。 法向量適用於解析幾何。 由於垂直於已知平面的空間中有無限數量的直線，因此平面中有無限數量的法線（包括兩個單位法線）。

平面的法向量由該平面中兩個不同向量的叉積獲得。 假設向量 a 和 b 是平面中的兩個向量，則平面法線 n=a b

平面法向量的具體步驟：（待定係數法）。

1. 建立適當的笛卡爾坐標系。

2.設平面法向量n=（x，y，z）。

3. 在平面中找到兩個非共線向量，表示為 a=（a1，a2， a3） b=（b1，b2，b3）。

4. 根據正態向量的定義建立方程組 n·a=0 n·b=0

5.求解方程組，取其中乙個解。

例如，如果您知道三個點來查詢該平面的法向量：

設 a（x1，y1，z1）、b（x2，y2，z2） 和 c（x3，y3，z3） 是已知平面上副興奮原的三個點。

A、B、C可形成3個向量，向量AB、向量AC和向量BC

AB （x2-x1， y2-y1， z2-z1）， ac （x3-x1， y3-y1， z3-z1）， bc （x3-x2， y3-y2， z3-z2）.

平面的法向量坐標為 （x，y，z）。

有 （x2-x1）*x+（y2-y1）*y+（z2-z1）*z=0 和 （x3-x1）*x+（y3-y1）*y+（z3-z1）*z=0 和 （x3-x2）*x+（y3-y2）*y+（z3-z2）*z=0

x、y、z 可以求解。

平面法向量可以採用未定係數法、外積法、平面截距方程法等方法求出。

1.待定係數法。

設平面法向量為n=（x，y，z），在平面內找到兩個非共線向量族a和b，根據法向量的定義，有n·a=0和n·b=0，求解這個方程組，得到x，y，z的值，就可以得到乙個平面法線。

2.外產法。

在平面上找到兩個非共線向量 a 和 b，根據外積的性質，有乙個垂直於 a 和 b 的 b，因此也垂直於平面，所以 a b 是平面法向量。

3.平面截距方程法。

如果平面上有三個點在坐標軸上，如a（a，0,0），b（0，b，0），c（0,0，c），那麼我們可以類比一條直線的截距方程，直接將平面方程寫成x a+y b+z c=1，從而得到乙個平面法向量（1 a，1 b，1 c）。

平面法線的應用：

1.用它來求直線和平面之間的夾角：如果你知道一條直線和乙個平面，並且想找到它們之間的夾角，你可以先找到平面的法向量，然後再找到法向量和直線之間的角度，即直線與曲面的夾角。

2.用它來求兩個平面之間的角度：如果你知道兩個平面，想找到它們之間的角度，你可以先為兩個平面各找乙個法向量，然後再找兩個法線向量之間的角度，也就是面與面之間的角度。

3.用它來求曲線的曲面：如果你知道乙個曲面和乙個向量場，並且想問曲線的曲面，你可以先找到曲面上每個點的法向量，然後根據曲面積分的定義進行計算。 具體來說，表面劃分等於表面上每個點的法線數與該點的向量場值乘以該點處微元素面積的乘積之和。

4.用它來處理燈光效果：在3D計算機圖形學中，常使用法向量來處理燈光效果，例如根據法向量和光源方向計算光的入射角和反射角，從而渲染逼真的場景。

在平面上找到兩個非共線向量，待求的法向量和兩個向量的乘積可以用零確定，為了便於運算，提取公因數，如果它包含未知量x，則x的代數可以得到乙個最簡單的法向量。

如果我們知道向量 a 和 b 是平面 ɑ 中的兩個非共線向量，並且 a = （x1， y1， z1）， b = （x2， y2， z2），則設 n 是平面 ɑ 的法向量，n = （x， y， z），根據方程組，可以得到法向量 n 中 x、y、z 的關係， 從而找到平面 ɑ 的法向量。

計算：對於三角形之類的東西。

多邊形兩條非平行邊的乘積是多邊形的法線。

由方程 ax+by+cz=d 表示的平面，向量 （a， b， c） 是它的法線。

如果 s 是由曲線坐標 x（s，t） 表示的曲面，其中 s 和 t 是實變數，則由偏導數的交越積表示的法線為 。

如果曲面 s 由隱式函式表示，並且點集 （x，y，z） 滿足 f（x，y，z）=0，則點 （x，y，z） 處的曲面法線由梯度表示為 。

如果曲面在某一點上沒有切平面，則該點上沒有法線。 例如，圓錐體的頂點和底面的邊緣沒有法線，但圓錐體的法線幾乎無處不在。 通常，滿足唇語連續性的表面幾乎可以被認為是正常的。

如果是高中數學，你可以這樣解決：

向量 ba=（1,0，-1），向量 bc=（0,1,1） 管理向量 p=（a，y，z）。

P 垂直於 Ba 和 BC。

x-z=0,y+z=0

x=-y=z

取一組非零解，x=1，y=-1，z=1

法向量 （1，-1,1）。

大學與叉乘法，行列式。

向量 ab = （1,0，-1） 向量 ac=（1，-1，-2） 平面的法向量 abc n = 向量 ab 向量 ac

i， j， k

0×（-2）×i+（-1）×1×j+1×（-1）×k-[0×1×k+（-1）×（1）×i+（-2）×1×j]=（-i，j，-k）=（-1，1，-1）

方向遵循右手法則。

另一種方法是在平面上找到兩個非共線向量，並將它們設定為向量 a 和 b，它們的向量積為 m=a b（這裡不是乘數符號，具體定義見向量積的定義）。

a|*|b|*sin（表示向量 a 的模數，即向量 a 和 b 之間的角度）。

如果向量 a 和 b 採用坐標形式，則使用行列式。

i i j k i （i j k 是三坐標單位基向量） i a b c i

i m n p i

bp-cn）i+（mc-pa）j+（an-bm）k：m=（bp-cn，mc-pa，an-bm） He 是乙個正態向量，其中字母代表數字，而不是向量。

平面法向量的具體步驟：（待定係數法） 1.建立適當的笛卡爾坐標系 2.設定平面法向量 n=（x，y，z） 3。在平面中找到兩個非共線向量，並將它們記錄為 a=（a1，a2， a3） b=（b1，b2，b3） 4.根據正態向量的定義建立方程組 n*a=0 n*b=0 5.求解方程組並取其中乙個解。

從理論上講，空間零向量是任何平面的法向量，但由於零向量不能表示平面的資訊。 通常，不選擇以零向量為平面的法向量。 如果已知直線垂直於平面，則已知直線的兩點形成的向量可以作為法向量。 如果不存在這樣的線，則可以使用元素方法找到平面的法向量; 步驟如下：

首先，設定平面的法向量m（x，y，z），然後找到平面中的任意兩個非平行向量ab（x1，y1，z1）和cd（x2，y2，z2）。 由於平面法向量垂直於平面中的所有向量，因此我們得到 x*x1+y*y1+z*z1=0 和 x*x2+y*y2+z*z2=0。 由於上述解中有三個未知數和兩個方程（不能通過新增新的向量和方程來求解，因為其他方程等價於上述兩個方程），因此不可能獲得唯一的正態向量（因為正向量不是唯一的）。

為了獲得確定的法態，可以固定 z=1（x=1 或 y=1）或模等於 1（單位法態），但此步驟不是必需的。 因為定法向量的效果與不確定法向量的效果相同。 平面法線的具體步驟：

待定係數法） 1、建立合適的笛卡爾坐標系 2、設定平面法向量 n=（x，y，z）3，在平面內找到兩個非共線向量，記為 a=（a1，a2， a3） b=（b1，b2，b3）4，根據法向量的定義建立方程組 n*a=0 n*b=05， 求解方程組，並取其中乙個解。

融入舒適的家中。

這就像中風一樣。

雷電。 已經被稱為臉部背後的歷史遺跡。

為什麼，只是乙個灰塵和煙霧。

這種幻覺使他們能夠展翅高飛。

你應該去聽周本軍老師的課 找正態向量的方法就是掩體 這些方法真是垃圾 高三同學強烈推薦！

<>是從平面點的方程推導出來的。

讓乙個平面通過已知點 m0（x1，y1，z1） 並垂直於非零向量 n=（a，b，c），則有：

a（x-x1）+b（y-y1）+c（z-z1）=0 上面的方程稱為平面脫敏的點正態方程。

從 x+y+z=0 可以看出平面穿過原點（因為 d=0），當 d=0 時，ax+by+cz=0 的平面穿過原點。

將原點代入平面的點法式方程。

ax+by+cz=0

即 a=1、b=1、c=1

正常 n = （1,1,1）。