線性代數證明題，書中的方法有誤

所以很清楚：

設 k 是非 0 的最左邊的 r 子，因此 m 是 （s-r）*s 的矩陣，m = （0， i），其中 i 是 s-r 階的單位矩陣。 將 m 追加到 k 下方得到乙個 s*s 矩陣 c替換 a（r+1），。

A（S） 附加到 B1 ,..BR下面，就明白了。

b1, .br, a(r+1), a(s))' = c(a1, .as)'

顯然 c 是可逆的，向左除以得到 a1 ,..正如左邊的 s 向量和 a1 ,..由於不相關，左邊的 s 必須不相關，因此 r 也必須不相關。

二：書中的證明太繁瑣了。

證明 a 和 b 都由 n 維向量組成。

1.矩陣的秩不大於其最小的矩陣維數 我們有 r（k）=min（s，r）=r，所以必須有 s>=r。

因為 ka'=b'有解，解向量數 = r（a'） = r（a）=s，然後根據矩陣乘法秩的不等式性質 r（b）>=min（r（a），r（k））=min（s，r）=r

2.因為 b 是乙個 r 維矩陣，r（b）<=r1,2 可以組合起來知道 r（b）=r。

證明中有乙個筆誤，即“（b1，b2,..br,0,..0) c = (a1,a2,..

as) k c = (a1,a2,..as) [e o] = (a1,a2,..ar,0,..

0）“和”使 kc = [e o] 成為列 k 的最簡單形式。 k in 應該是它的轉置 k'.請注意，r（k）=r=r（k'所以k'它也可以通過有限階主列變換轉換為列極簡 [e o]，其中 e 是 r*r 單位矩陣。

您應該可以稍後再做。

設 f（x） 1+x+....+x^(n-1)＝a0＋a1*x＋a2*x^2＋..A（n-1）*x （n-1），求出 A0,..a(n-1)

設 x=a 在兩邊，得到 a0=f（a）。

兩邊的導數，使 x=a，得到 a1=f'(a)

然後在兩邊尋找導數，使 x=a，a2=f''(a)/2!

求兩邊的 n-1 導數，設 x=a，得到 n-1 導數 （n-1）！， a（n-1） f， at x=a

a0,a1,..a（n-1）） 是坐標。

圖中的證明方法是先將第 1 行中的第 2、3 和 4 行分別減去 a、a 2 倍和 a 4 倍。

然後分解它，並按第一列，降級，提取每列的公因數，然後使用類似的方法，降級，就可以了。

這是另一種簡單的方法供您參考：

首先，如果乙個矩陣 a 的秩 r（a） = r，那麼這個矩陣中任何乙個 r+1 階子公式都等於 0，這是乙個定理，書中有乙個證明，一般的解釋是，如果矩陣的秩是 r，那麼對應的向量群最多有 r 個線性獨立向量， 所以 R+1 向量必須是線性相關的，所以 R+1 階子公式中的向量群必須是線性相關的，行列式等於 0。這樣我們得到 aklaij=ailakj，現在我們來談談這個問題在證明什麼，既然給出了矩陣 a，那麼它的元素 aij 也就確定了，只要我們能用到這些元素，讓它們形成的列向量和行向量乘以等於矩陣 a，我們就完成了證明。 為此，取 a 中 L 列元素組成的列向量和由 k 行元素組成的行向量，讓它們相乘，然後使用方程 AKLAIJ=AILAKJ，我們得到乙個 M*N （AKLAIJ） 的矩陣，這裡只取 K 和 L，它們是兩個常數，所以 AKL 也是乙個常數， I、J分別是變數，AIJ代表矩陣中的元素，現在用乙個常量將矩陣中的元素相乘，按照矩陣乘法的定義，這個常數可以在矩陣之外提到，即矩陣（aklaij）=akl*矩陣aij，矩陣aij是a，所以只要將選定的列向量除以akl，對於每個列向量來說，就是乙個新的列向量， 然後將這個列向量和正行向量相乘得到矩陣 A，我們找到我們需要的兩個向量，我們就完成了證明。

如果您有任何問題，請隨時提問。

（1）錯誤，可能存在兩個相互矛盾的方程。

（2） 同上。 3）錯了，有些可能是相同的解方程。

4） False，至少 1 個 r 階子公式不是 0

5）對。6）對。

7）看不清。

1）方程的解用x表示，如果ax=0，顯然at（ax）=0，即x也是atax的解。

2）如果atax=0，則xt（atax）=0，即（xtat）（ax）=0，即（ax）t（ax）=0，這裡使用乙個屬性，如果ata=0，則a=0，（因為ata的每個元素都是a元素的平方）。所以我們得到 ax=0，即 x 也是 ax=0 的解。 認證。

顯然，a 的特徵值與 b 相同，即分別為 1、1、0，屬於特徵值 0 的特徵向量，顯然是 q [ 2 2， 0， 2 2]t 的第三列

根據 q taq=b，正交矩陣 q 中的列向量都是單位向量（且數量是正交的），不妨取兩個 [ 2 2,0， 2 2]t 為正交單位列向量，可以作為 q 的前兩列。

因此 a=qbq t，得到矩陣 a

如果 zhi 是乙個線性相關集，那麼 k1、k2、k3 和 k4 在 dao 中並不都是 0，因此 k1v1+k2v2+k3v3+k4v4=0

可以看出 k4 不是 0（因為如果 k4 是 0，那麼 k1v1+k2v2+k3v3=0，並且它是乙個線性獨立集合，那麼 k1、k2 和 k3 都是 0，這與 k1、k2、k3 和 k4 不都是 0 的條件不一致）。

所以 v4=-（k1v1+k2v2+k3v3） k4，即 v4 可以用 v1、v2、v3 線性表示，這與 v4 不相矛盾。 所以集合是線性獨立的。

得到“那麼集合中的向量都不是其他三個向量的線性組合”有點太簡單了，似乎很難直接從上一篇文章的屬物中得到這個結果。

這可以通過線性相關的定義來證明，正如 KissKnow4 所說，或者通過方程組來證明：首先，r（v1， v2， v3） = 3。 其次，v4 不在跨度內，即 v4 不能用 v1、v2、v3 線性表示，所以方程組（v1、v2、v3） x = v4 沒有解，所以 r（v1， v2， v3， v4） r（v1， v2， v3， v4），所以 r（v1， v2， v3， v4） 4，所以 v1、v2、v3、v4 是線性無關的。

設 k1v1+k2v2+k3v3+k4v4=0，有 k4 為 0，否則如果 k4 不為 0，則 v4=-（k1v1+k2v2+k3v3） k4 可以用 v1、v2、v3 表示，矛盾。 k4=0，則 k1v1+k2v2+k3v3=0，則 k1=k2=k3=0，所以四條向量線是無關的。

同意以下採用反證法，反證法更有說服力。

證明 （1） ab=0，則 b 的列向量是方程 ax=0 的解。

如果有 r（a）=n，則有 ax=0、n 個未知數和 n 個約束。

則 ax=0 只有零解。

那麼 b=0（2）ab=a，那麼 a（b-e）=0 為 1，我們可以看到 b-e 是乙個零矩陣。

則 b 是單位矩陣。