不定積分計算中的三角換向問題

主要內容：本文通過未定係數法和三角換向法兩種方法，詳細介紹了求不定積分dx[（2+cosx）sinx]的具體步驟。

方法一：主要思想：綜合應用分數的補法和待確定的係數。

dx/[(2+cosx)sinx]

sinxdx/[(2+cosx)sin^2x]

dcosx/[(2+cosx)(1-cos^2x)]

a/(2+cosx)+b/(1-cosx)+c/(1+cosx)]dcosx

(1/3)/(2+cosx)-(1/6)/(1-cosx)-(1/2)/(1+cosx)]dcosx

1/3)∫dcosx/(cosx+2)-(1/2)∫dcosx/(cosx+1)+(1/6)∫dcosx/(cosx-1)

1/3)ln(cosx+2)-(1/2)ln(cosx+1)+(1/6)ln(1-cosx)+c.

1/6)ln[(cosx+2)^2*(1-cosx)/(cosx+1)^3]+c.

方法二：主要思想：三角換向，設tanx 2=t，則x=2arctant。

代入不定積分得到：

dx/[(2+cosx)sinx]

d(2arctant)/

2∫dt/∫(t^2+1)dt/[t(t^2+3)]

1/3)∫dt/t+(2/3)∫tdt/(t^2+3)

1/3)lnt+(1/3)∫dt^2/(t^2+3)

1/3)ln(tanx/2)+(1/3)ln[(tanx/2)^2+3]+c

1/3)ln+c

可以看出，同一不定積分的原始函式表示式不是唯一的，但最終可以簡化為相同的函式。

我們知道如何找到確定的積分。

它可以轉換為原始功能。

在前面，我們知道了換向方法的使用。

您可以找到某些函式的原始功能。 因此，在一定條件下，可以使用換向法來計算定積分。

定理：設函式 f（x） 在區間 [a，b] 內是連續的; 函式 g（t） 是奇異的，在區間 [m，n] 上具有連續導數; 當 t 在區間 [m，n] 中變化時，x=g（t） 的值在 [a，b] 中發生變化，並且 g（m）=a，g（n）=b; 然後是定積分的換向公式：

示例：計算。

答：設 x=asint，則 dx=acostdt，當 x=0 時，t=0;當 x=a、t=2 時所以：

注：當使用定積分的換向方法時，當積分變數變換時，積分的上界和下界也應相應變換。

定積分的偏積分法。

有一種用於計算不定積分的偏積分方法，相應地，也有一種用於計算定積分的偏積分方法。

設 u（x） 和 v（x） 在區間 [a，b] 上有連續導數 u。'(x)、v'（x），然後是（UV）。'=u'v+uv'，在方程的兩端找到 [a，b] 處的定積分，並移動它們得到：

上式是定積分的偏積分公式。

示例：計算。

答：讓 ，當 x=0 時，t=0;當 x=1 時，t=1從前面的換向公式：

然後使用偏積分公式計算上述方程右端的積分。 設 u=t， dv=etdt，則 du=dt， v=et。所以：因此：

網際網絡上的一切都是完整的，怎麼會有你總結的完整網路。 我會為你發布一些。 兩個角的和差的三角函式：

cos（ +cos ·cos -sin ·sin cos（ -cos ·cos +sin ·sin sin（ sin ·cos cos ·sin tan（ +tan +tan ） 1-tan ·tan ）tan（ -tan -tan ） 1+tan ·tan ）·輔助角公式： ASIN +Because =（A 2+B 2） （1 2）sin（ +t），其中 sint=b （a 2+b 2） （1 2）cost=a （a 2+b 2） （1 2） ·雙角公式： sin（2 ）=2sin ·cos =2 （tan +cot ）cos（2 ）=cos 2 （ ）sin 2（ ）2cos 2（ ）1=1-2sin 2（ ）tan（2 ）=2tan [1-tan 2（ ） 三角公式：

sin3 =3sin -4sin 3（ ）cos3 =4cos 3（ ）3cos ·半形公式： sin（ 2）=正負 （（1-cos） 2）cos（ 2）=正負 （（1+cos） 2）tan（ 2）=正負 （（1-cos） 1+cos ））sin （1+cos）=1-cos ） sin ·功率降減式 sin 2（ ）1-cos（2 ））2cos 2（ ）1+cos（2 ）2tan 2（ 1-cos（2））1+cos（2）））通用式： sin = 2tan（2） [1+tan 2（ 2）]cos = [1-tan 2（ 2）] 1+tan 2（ 2）] tan =2tan（ 2） [1-tan 2（ 2）] ·

sin ·cos = （1 2） [sin（ +sin（ -cos ·sin =（1 2）[sin（ +sin（ -cos ·cos =（1 2）[cos（ +cos（ -sin ·sin =-1 2）[cos（ +cos（ - 和差乘分子式：

使用這些定律來解決。

熟悉它甚至更容易。

設 x=sinu，dx=cosudu dx （x+ （1-x 2））=cosudu luwei（sinu+cosu）=1 zhongzen2 （cosu+sinu+cosu-sinu）du （sinu+cosu）=1 2 [1+（cosu-sinu） 賣塵 （sinu+cosu）]du=1 2[u+ln|sinu+cosu|]+c=1/2arcsinx+1/2ln|x+√(1-x^2)|+c

勾選 r=secx，則 r -1=sec x-1=tan x，dr=dsecx=tanx secx dx，所以分母 r （r -1）=secx tanx，最後整個積分變成 dx=x+c

因為，r=secx=1 cosx，也就是cosx=1 r，所以x=arccos（1 r），所以最終結果是arccos（1 r）+c，當然，因為arccosx和arcsinx的和是2，所以最終結果也可以寫成-arcsin（1 r）+c，而這裡的c是上面c和c之間的2差。

切勿將其寫為 arcsecr，這通常不會用數學表示。

嘗試用前向切割替換變數。

r 的值應被視為 r>1 或 r<-1

結果應為 arccos|(1/r)|+c

結合反三角函式定義域值範圍，一般為sin，tan為-2至2，cos為0至

方法：三角換向。 如果你的第一步是正確的，你只需要按照步驟操作，但你需要精通三角恒等式和基本的積分公式。