如何推導基本初等函式的導數運算？

都在教科書裡，讓我們翻閱一下書吧！ 為你推導乙個：指數的函式。

然後，f（x）e x。

f‘(x)e^x)’

lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/hlim(h→0)[e^(x+h)-e^x]/he^x)*lim(h→0)(e^h

1]/he^x)*1

e^x。

演算法為：加法（減法）定律，[f（x）+g（x）]。'f(x)'+g(x)'；乘法，[f（x）*g（x）]。'f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)；除法，[f（x） g（x）]。'f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。如果乙個函式存在於導數中的某個點，則稱它在該點上是可推導的，否則稱為可推導函式。

導數，又稱導數值，又稱微商，是微積分中乙個重要的基本概念。 由基本函式的和、差、乘積、商或復合組成的函式的導數可以從函式的導數中推導出來。

導數演算法為：加法（減法）法則：[f（x）+g（x）]。'f(x)'+g(x)'；乘法規則：

f(x)*g(x)]'f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)；除法，[f（x） g（x）]。'f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。

並非所有函式都有導數，函式也不一定在所有點上都有導數。 如果乙個函式存在於導數中的某個點，則稱它在該點上是可推導的，否則稱為可推導函式。 但是，可推導函式必須是連續的; 不連續函式不能是導數函式。

推導的定義是有限制的：

例如，x 2 的導數，根據定義：

lim(dx-->0)[(x+dx)^2-x^2]/dx=lim(dx-->0)[2x*dx+dx^2]/dx=lim(dx-->0)2x+dx=2x。

其他人也差不多，試著自己推一下。

所謂初等函式，就是基本初等函式通過有限數量的四種運算和復合而形成的函式。 初等函式是在有限數量的有理運算和基本初等函式的復合之後，可以用單個公式表示的函式。

初等函式和初等函式都是其定義區間內的連續函式。 非初等函式稱為非初等函式，如狄利克雷函式和黎曼函式。

基本基本功能包括：

1）常數函式y = c（c是常數）。

2） 冪函式 y = x a（a 是乙個常數）。

3） 指數函式 y = a x（a>0， a≠1）。

4） 對數函式 y = log（a） x（a>0， a≠1， 真數 x>0）.

5）三角函式。

1. 常量 f'(x)=(c)'=lim[h-->0] (f(x+h)-f(x))/h=lim[h-->0] (c-c)/h=0

2.三角函式。

sinx)'=lim[h-->0] (sin(x+h)-sinh)/h=lim[h-->0] 2cos(x+h/2)sin(h/2)/h=cosx

使用和差積，第乙個重要限制。

COSX和sinx一模一樣。

tanx)'=sinx/cosx)'=cos²x+sin²x)/cos²x=1/cos²x=sec²x

COTX 與中性 tanx 完全相似。

3.對數功能。

第乙個結論是lim[h-->0] ln（1+h） h=lim[h-->0] ln（1+h） （1 h）=1

使用第二個重要限制。

因此，ln（1+h）等價於賣出源h，等價的無窮小可以替換。

lnx)'=lim[h-->0] (ln(x+h)-lnx)/h=lim[h-->0] 1/h*ln((x+h)/x)=lim[h-->0] 1/h*ln(1+h/x)

lim[h-->0] (1/h)*(h/x)=1/x

求 16 個初等寒石攜帶數的明推導公式推導如下：

y'此核心寬度 = 0

2. y=α^y'=μ1)

3. y=a^x y'=a^x lna

y=e^x y'=e^x

4. y=loga,x y'=loga,e/xy=lnx y'=1/x

5. y=sinx y'=cosx

6. y=cosx y'=-sinx

7. y=tanx y'=(secx)^2=1/(cosx)^28. y=cotx y'=-cscx)^2=-1/(sinx)^29.

y=arc sinx y'=1/√(1-x^2)cosx y'=-1/√(1-x^2)

tanx y'=1/(1+x^2)

cotx y'=-1/(1+x^2)

x y'=ch x

x y'=sh x

y'=1/(chx)^2

shx y'=1/√(1+x^2)

chx y'=1/√(x^2-1)

th y'=1/(1-x^2)

y'=1/(chx)^2

shx y'=1/√(1+x^2)

chx y'=1/√(x^2-1)

th y'=1/(1-x^2)

常數函式的導數為 f（x）=c，其中 c 是乙個常數。 則 f（x）=limδx 0f（x+δx） f（x）δx=limδx 0c cδx=0。

冪函式的導數引理 1limx 0（1+x）a 1x=a（a r） 證明 （1+x）a 1=t，則當 x 0 t 0limx 0（1+x）a 1x=limx 0[（1+x）a 1ln （1+x）a aln （1+x）x]=limt 0tln （1+t） limx 0aln （1+x）x=a. 設 f（x）=xa（a r），d 是 f（x） 的域，並指定 x d，x≠0f（x）=limδx 0f（x+δx f（x）δx=limδx 0（x+δx）a xaδx=limδx 0xa 1 （1+δxx）a 1δxx。 很容易知道 δxx 0，使用引理 1 的結果，我們可以得到 f （x） = limδx 0f（x + δx） f（x） δx = axa 1。

當 a≠1 時，f （0）=0 可以從定義中計算出來，代入公式可以看出為真，因此該公式對於所有 x d 都為真; 特別是，當 a = 1 時，則 f （x） 1正弦函式的導數，引理 2limx 0sin xx=1