當 x 0 時，驗證 ln 1 x x 1 x 寫出必要的過程。

方法。 1.使用函式單調性證明。

F（t）=ln（1+t）-t，t>=0f'（t）=1 （1+t）-1=-t （1+t）<0，t>0 給出 f（t） 在 （0，+ 單調遞減，f（t） 在 t=0 時可以連續。

f（t）0 即

ln(1+t)0

讓我們取 1 x （>0） 而不是 t have。

ln[（1+x） x]<1 x，x>0 命題得到證明。

方法。 2.中值定理的證明。

注意 f（x）=lnx，x>0，表明 f（x） 滿足 [x，x+1] 上的拉格朗日中值定理的條件。

然後是 （x，x+1） 這樣。

ln[(x+1)/x]=ln(x+1)-lnx=f(x+1)-f(x)=f'(ξ)x+1)-x]=1/ξ

和 1 （x+1）<1 <1 x，其中 （x，x+1） 有 1 （x+1）0 命題為真。

解：取函式 f（x）=ln[（1+x） x]-1 x，則當 x>0， f'(x)=lnx*(-1/1+x)<0;所以 f（x） 在 （0，+; 當 x > 0 時，f（x） 為 ln[（1+x） x]-1 x <0

所以 ln[（1+x） x]<1 x

證明： x 0

函式 f（u）=lnu in.

1） 閉合間隔 [x，x+1] 連續。

2）開啟間隔。

x，x+1）。

因此，由微分中值定理。

知道：在開區間 （x，x+1） 中至少有乙個 c 點。

f（c）=[f（x+1）-f（x）] [（x+1）-x]，其中 x c x+1

f′(u)=1/u∴f′(c)=1/c

x c x+1

1/(x+1)＜1/c＜1/x

1/(x+1)＜[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x]＜1/x

即 1 （x+1） [ln（x+1）-lnx] [（x+1）-x] 1 x

1/1+x

設 f（x） = sin（x 2） - （x ） 則 f'(x)=1/2*cosx/2-1/π

訂購 f'（x）=0 給出 x=2arccos（2） 是唯一的站點。

當 0 的範圍開啟時。

0 x 的值始終大於 0

即 sin（x2）>x

此外，這個問題可以直接利用函式的凹凸性質。

因為 y=sin（x 2） 是二階導數。

小於 0，因此函式 y=sin（x 2） 在開區間 0x

解：x>1，所以如果你在不等式的兩邊除以 x-1，那麼 （x+1）lnx x-1 使 f（x）=（x+1）lnx-x+1

f'(x)=lnx+(x+1)/x-1

`lnx+1/x

f''（x）=1 x-1 x =（x-1） x 當 x>1， f''（x） >0，此時 f'（x） 單調遞增。

當 00所以 f（x） 單調增加。

f（1）=0，所以當x>1（x-1）lnx>（x-1）時。

設 y=x-1-lnx

y'=1-1/x=(x-1)/x>0

描述 y 單次增加。

x 從正方向接近 1，y>0

所以 y>0，即 lnx0

描述 y 單次增加。

x 從正方向接近 1，y>0

所以 y>0，即 lnx>（x-1） x

所以當 x>1， （x-1） x

證明 ： f（x）=xlnx-（x-1），f'（x）=lnx>0 （因為 x>1） f（x） 是乙個遞增函式，而 f（1）=0，所以 f（x）>f（1）=0， x>1是的，（x-1） x0（因為 x>1），g（x） 是乙個遞增函式，g（1） = 0，所以 g（x）>g（1）=0、x>1 和 （x-1） x

設 f（x） = （x 1） lnx 2（x 1） 則：f'（x）=lnx （1 x） 1=h（x） 則：h'（x） = （1 x） （1 x），在 x>1， h 處'（x） >0，即

h（x） 在 x>1 處遞增，其最小值為 h（1）=0，因此得到 ：f'（x） x>1 處的最小值為 f'（1） = 0，所以 f'（x） 在 x>1 處常青為 0，即函式 f（x） 在 x>1 處遞增。

對於 x>1，總是有 f（x）>f（1）。

f(x)>0

即，當 x>1， （x1）lnx 2（x1）>0 則：當 x>1， x1>2（x1） lnx

設 f（x）=ln（1+x）-x+1 2x 2，顯然有 f（0）=0，下面證明當 x>0 時，f（x）>f（0）=0

也就是說，只要能證明 f（x） 是 x>0 處的遞增函式'(x)=1/(1+x)-1+x=(x^2+x+1)/(1+x)-1>(x+1)/(1+x)-1=0

當 x>0.

因此，f（x） 是 x>0 處的遞增函式，即 f（x）> f（0）=0，即 ln（1+x）-x+1 2x 2>0，則 ln（1+x）>x-1 2x 2

設函式 y=（1+x）ln（1+x）-x

推導：y = （1+x）*（1 （1+x））+ln（1+x）-1=ln（1+x） 的破壞導數。

顯然，在 x>0 處，ln（1+x）>0 是常數，因此函式 y 是 x>0 處的遞增函式。

當考慮初始值 x=0 時，當前源寬度為 y=0

因此，當 x>0， y>0 已知時，即當 x>0， （1+x）ln（1+x）>x

當 x=0 時，兩邊均為 0

然後在兩邊找到導數，左邊是 1 （1+x），右邊是 1 （1+x） 2。

在 x>0 時，兩個導數均> 1

老。 1+x)^2

總是“1+x，即左邊的引導面板總是右邊的導數。

兩邊的起點是一樣的，左邊增加快，絕對回程是所以左邊一定在右邊。

如果我沒有學過導數，我就做不到。 ）

因為 x>0， x+1>1， ln（x+1）>0 需要證明 ln（x+1）> x 2-x 3

即 0> x 2-x 3

即 0>x 2（1-x）。

因為 x 2 恒大是 0

因此，只需要 0>1-x

即 x>1

如果條件不足，則無法永久建立 x>1。

在這一點上，可以明確討論，當 x>1 時，不等式是恆定的;

當 1>x>0 時，不等式不成立。