如果 G 是 S n 的子群，那麼如果 G 是簡單群，則 G 屬於 A n 60

結論是有問題的，即 s n 的二階子群（當然是單個群）不能包含在 n 中。

例如，當 |a_3|= 3，沒有二階，但 s 3 有 3 個二階子群。

如果新增條件 |g|>2，則結論成立。

首先，有乙個結論：設 k 為群，n 為 k 的子群，呈指數 |k:n|= 2，則 n 是 k 的正則子群。

這是因為 |k:n|= 2，對於 k 中的任何元素 k，我們得到：

如果 k n，則 kn = n = nk; 如果 k k-n，則 kn = k-n = nk

因此，kn = nk 對於任何 k k 都為真，即 n 在 k 中是正態的。

對於 s n 的任何子群 g，設 h = g a n

則 h 是 g 的子群，並且 |g:h| = |g|/|g∩a_n| = |g·a_n|/|a_n| ≤s_n|/|a_n| = 2.

如果 |g:h|= 2，則 h 是 g 的正則子群。

再次|g|因此，>2h|>1，g 有乙個非平凡的正則子群，而不是單群。

因此，當 g 是單群時，必須有 |g:h| = 1.

在這種情況下，g = h = g a n.，即 g a n

注意：該方程用於證明：對於群 x， y 的兩個子群，總是有 |x|/|x∩y| = |xy|/|y|.

這裡 xy 不一定是乙個子群，它只是 y 的多個左伴集的並集。

證明是在 x 中 x y 的左伴隨集和 xy 中 y 的左伴伴集之間建立一一對應關係，細節省略。

必要性：

如果 h 是 g 的子群，它自然是非空的，並且對乘法和逆是封閉的，因此 h ≠並且對於任何 a、b h，都有 ab h

充分性：首先，a h 由 h ≠ 取，e = aa h 由條件獲得，因此 h 包含 g e 的單位

因此，對於任何 b h，b = eb h 來自條件，因此 h 是倒數。

對於任何 a，b h，都有 b h，然後 ab = a（b）h 由條件得到，因此 h 接近乘法。

到目前為止，我們已經證明了 h 到 g 的乘法是閉合的。

1）g作為乙個群，其乘法自然滿足結合律;

2） e h， e 作為 g 的單位元素，滿足任意 a h， ae = ea = a;

3） 對於任何 b h，都有 b h，滿足 bb = b b = e

因此，g 的非空子集 h 是 g 的乘法群，即 h 是 g 的子群。

注意：如果子群的等價定義被認可：對於乘法和逆閉合非空子集，只需要充分性證明的前半部分。

ah（a -1） = 其中 * 是 G 群的火山探測操作，所以 Ah（a -1） 是 G 的子集。

將茄子向下連線以驗證 g 上的 AH（A-1） 中的操作是否成為乙個組：

閉合：對於 H1、H2 H，有 [a*H1*a （-1）] a*H2*A （-1）]A * H1 * H2 * A （-1） （使用結合定律）。

結合定律：對於大對 h1、h2、h3 h，有 * a*h3*a （-1）]。

a * h1 * h2 * h3 * a^(-1)

a*h1*a （-1）] 也使用關聯定律）。

常數元素：如果 g 的常數元素是 e，那麼 e = a * e * a （-1） 也是 ah （a -1） 的常數元素。

反：如果 h（h） 是 h 中 h （-1） 的倒數，則 a * h （-1） *a （-1） 是 a * h * a （-1） 的倒數。

因此 ah（a-1） 是 g 的子群。

首先，我們應該澄清群積的實際含義：ab={ab：a屬於a，b屬於b}，其次需要注意的是，如果ab屬於ab，則ab=ba無法推導出來，那麼ab=ba（這是我犯的乙個錯誤）。 接下來，讓我們正式開始證明這個問題：

1）必要性：因為ab屬於BA（b（-1）和A（-1）屬於BA（B（-1）屬於B，A（-1）屬於A），所以有B（-1）A（-1）=（ab）（1），AB屬於AB，所以AB=BA

2）充足性：對於任何屬於AB的A1B1和A2B2（A1和A2屬於A，B1和B2屬於B），有A1B1（A2B2）（1）=A1B1B2（-1）A2（-1）。

因為 （b1b2 （-1））a2 （-1） 屬於 BA，而 ab=ba，所以存在 a3b3 屬於 AB，使得 （b1b2 （-1））a2 （-1）=a3b3，因此 a1b1（a2b2） （1）=（a1a3）b3 屬於 ab，所以 ab

設 h 是 g 的第 n 個子群，並取 g 中的任何元素 g，並構造以下集合 h（g）=

現在事實證明，h（g） 是 g 的子群。

GH1G-1是可選的，GH2G-1屬於H（G）。

那麼，GH1G -1*（GH2G -1） -1=G（H1H2 -1）G -1

因為 h1h2-1 屬於 h，g（h1h2 -1）g-1 屬於 h（g）。

所以 h（g） 是 g 的子群。 而從消除定律中，我們知道gh1g -1=gh2g -1可以推出h1=h2

所以 |h(g)|=n，因為 h 是 g 中唯一的 n 階子群，所以 h（g）=h

也就是說，任何 g 都屬於 g，任何 h 都屬於 h，有 ghg -1 屬於 h，所以 h 是 g 的正則子群。

很容易驗證 GH 和 HG 都是 g 的第 n 個亞群，但 G 只有乙個 n 階亞群。

所以有 gh=hg=h，所以 h 是 g 的正則子群。

離散數學！ 哎喲，我差點結束通話......在期末

為了猜測任何 g 屬於 g，考慮到群 n = ghg （-1） 現在證明 n 是乙個尖峰銀群，首先可以得到的是 n 中的元素數等於 n 中的元素數，租金數為 a， b 屬於 n，然後有 x，y 屬於 h，所以 a=gxg （-1），b=gyg （-1），所以 ab （-1） =gxg （-1）gy （1）g （-1） =gxy （-1） 和 xy （-

答：h n 是 h 的非空子集，n 是 g 的正則子群 對於任何 x，y h n，有 x、y h 和 x、y n，所以有 x*y h 和 x*y n，所以 x*y h n，對於任何 x h n，有 x h 和 x n， 所以有 X-1

h 和 x-1n，然後是 x-1

h n，因此，h 彎曲愚蠢 n 是 h 的研磨焦點群

對於任何 x h n、h h，也有 h-1

x*h h 和 h-1

x*h n， h-1

x*h h n，所以 h n 是 h 的正則子群

答案]：對於任何 x，y h k，因為 （h，*） 和 （k，*） 是群 （g，*） 的子群，y-1

H，Y-1K，因此具有Y-1

h k 和 x*y-1 再次

h，x*y-1

k，所以有 x*

y-1h∩k．

根據子群的判斷，（h k，*）是群（g，*）的乙個子群。