已知 I 是銳角 A1B1C1 的外中心和 ABC 的內側，如果點 B 在 A1B1C1 的外接圓上，則 ABC 5

在這些條件下，ABC可以任意，想象一下，只要BI可以平分ABC，不管ABC有多大。

我傾向於說，在這種情況下，ABC可以是任意的，只要BI可以平均分配ABC，無論ABC有多大。

點 o 是 abc 的外中心，a=1

2 BoC，而 O=140°，A=70°，I 點是 ABC 的中心，BiC=90°+12 A

所以答案是 125°

如果是向內的，則 bic=180-（ibc+ icb）=180-1 2（abc+ acb）=180-1 2*130=115°

如果外部中心，連線IA，bic=180-（ibc+acb）=180-（180-2*50）=100°

ia=ib=ic，iba=iab，ibc=icb，四個角之和=2 a=100°，ibc+icb=80°，bic=100°

AI、BI、CI的延長線分別分配給BC和AC到A、B和C。

外中心是三條垂直線的交點，bic cib（等於頂點角）180 A（半形全等，雙角互補）。

心臟是角平分線的交點。

bic=180°-1/2(∠b+∠c)=180°-1/2(180°-∠a)=180°-1/2(180°-50°)=115°

外中心是三條線段的布置平分線的交點。

boc＝180°-(obc+∠ocb)=180°-(180°-2∠a)=100°

O是ABC的外心（圓的外心），那麼同弧的中心角（BOC）是圓周角（角A）的兩倍。

那麼 boc=160 度。

i 是 abc 的內部（內切到圓的中心），那麼 bi 和 ci 分別是角 b 和 c 的平分線，在三角形 bic 中，角 bic = 角 b + 角 c） = 角 a） = 130 度。

證明：必要性：設 i 是 ABC 的內部部分，AI、BI 和 CI 的延長線分別與 A1、B1 和 C1 相交 ABC 的外接圓，連線 A1C 和 A1B。

在 a1bi， a1ib ， a1bi a1bc 中，所以 a1b=a1i

同理：在ICA1中，a1i=a1c，所以a1b=a1i=a1c

所以 A1 是 IBC 的外心，同樣 B1 和 C1 分別是 ICA 和 IAB 的外心，即 IBC、ICA 和 IAB 的外心都在 ABC 的外接圓上。

充分性：設 i' 是 ABC 的內點，I'BC、I'CA 和 i'AB 的外中心都在 ABC 的外接圓上，分別是 A2、B2 和 C2。

通過a2b a2c，a1b=a1c，a1，a2重合，（b1，b2），（c1，c2）重合。

從 A1 和 C1（分別是 IBC 和 IAB 的外部中心）開始，A1C1 將線段 Bi 平分。 則 A1（A2） 和 C1（C2） 分別是 I'BC 和 I'AB 的外中心，A1C1 將線段 Bi' 一分為二。 由此，我們知道 i' 和 i 重合，即 i' 是 abc 心。

因此，i 成為 abc 內部的充分和必要條件是：ibc、ica 和 iab 的外中心都在 abc 的外接圓上。

1）必要性：

i 是 abc 的內側，iab= iac，iba= IBC，弧 bm=弧 cm，bm=cm，iab= IAC= MBC，BIM= BAM+ IBA，IBM= IBC+ MBC，BIM= IBM，BM=IM，即：bm=im=mc，m 是 IBC 外接圓的中心，IBC 的外心是 O1，O1 與 M 重合，即 O1 在 ABC 的外接圓上， 同樣：O2 和 O3 也在 ABC 的外接圓上。

i 成為 abc 內部的必要條件是 ibc、ica 和 iab 的外中心都在 abc 的外接圓上。

2）充足性：

設 i' 是 ABC 的內點，I'BC、I'CA 和 i'AB 的外心都在 ABC 的外接圓上，分別是 A2、B2 和 C2。

A2B A2C， A1B = A1C， A1， A2 重合。

同樣，b1 與 和 b2 重合，c1 與 c2 重合。

A1 和 C1 分別是 IBC 和 IAB 的外部中心。

A1C1 將線段 BI 一分為二

A1（A2） 和 C1（C2） 分別是 i'bc 和 i'ab 的外心。

A1C1 將線段 BI 一分為二

我和我重合。

即 i' 代表 ABC 心。

IBC、ICA和IAB的外心都在ABC的外圈內，這是I是ABC內心的充分條件。

因此，i 成為 abc 內部的充分和必要條件是：ibc、ica 和 iab 的外中心都在 abc 的外接圓上。

希望對您有所幫助！

證明eo、fo是連在一起的，BC分別延伸到m、n，那麼ob點o就是abc的外心 a= boc bom= a bom= boc ob=oc om bc

即 em fc

同樣，fn ec 必須是 cef 的中心。 然後是OC ef（6 分）。

2） EFM= COM （Easy Proof） EMF= CMO=900 EF=OC

efm≌△com

有em=cm

所以 ecm=450

即 ACB = 450（12 分）。

<> a+ abc+ acb=180°， a=50°， abc+ acb=130°， i 是 abc 的心臟， ibc=1

abc，∠icb=1

acb，∴∠ibc+∠icb=1

130°=65°，∴bic=180°-（ibc+∠icb）=115°；

如圖1所示，由圓周角定理求得：boc=2 a=2 50°=100°;

如圖2所示，還得到圓周角定理：boc=2 a=100°;

所以答案是：115°，100°

選擇D，樓上小哥忽略了一點餡餅，比如當內心和外心在BC的同一側時，確實是60度，但是當內心和外心在BC的對側時，也就是當角A鈍時，應該還有另一種情況， 也就是說，108度。

選擇a是因為a=60°，所以b+c=120°，因為ibc=1 2 b icb=1 2 c，所以春梅ibc+icb=（1 2）（ b+ c）=60°，所以bic=120°

因為 a=60°

因此，boc = 120°（同一弧的中心角是圓周角的兩倍），所以第乙個正 boc = bic = 120°

所以選擇A

C試題分析：AIB<>C可根據三角形內冰雹和橡子核的形成得到，AOB=2 C可根據三角形外心的形成源得到，即混沌坍塌可得到結果。

標題來源於AIB<>

c，∠aob=2∠c

然後是 AIB <>

aob，4∠aib-∠aob=360°

因此，選擇了 C.點評：解決這個問題的關鍵是要掌握三角形的內側是三角形的三個內角平分線的交點，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點。