不等式證明，數學不等式證明

證明 y=ax 2+x+1 的影象與 x 軸有兩個交點，其判別式 1-4a>0 為 01 a>4，- 1 a<-4

所以 x1+x2=-1 a<-4; x1*x2=1/a>4.

可以看出，x1 和 x2 都是負數。

由於 -<1 a<-4，其對稱軸 x=-1 2a<-2

讓 x1 有 -4 並知道 x1< x2<-1，因此 x<-1 已建立。

它是 y=ax 2+x+1。

1-4a＞0

0＜a＜1/4

對稱軸是 x=-1 2a -2

y(x=-1)=a＞0

所以 x1 1， x2 1

a>0 此函式向上開啟影象。

當 x=-1 時，y=-a-1+1=-a<0

點 （-1， -a） 位於 x 軸下方。

通過基於該特徵的函式草圖，可以證明兩個根分布在 x=-1 的兩側。

即 x1<-1、x2>-1

這是高中常用的方法。

f(-1)=-a<0

f（x） 是一條向上開始的拋物線。

所以 x1 和 x2 不能同時小於 -1

您對該主題有疑問。

當 x=1 時，left=0=right。

當 0=（x-1） 2， （x+1）inx<=（x-1） 使 f（x）=（x+1）inx-（x-1） 則 f'（x）=inx+1 x，順序為 g（x）=inx+1 x，然後是 g'（x）=1 x-1 x 2=（x-1） x 2<0 所以 g（x） 在 0g（1）=1，f'（x）>1>0 所以 f（x） 在 0=（x-1） 2

當 x>1 證明 （x 2-1）inx>=（x-1） 2 證明 （x+1）inx>=（x-1） f（x）=（x+1）inx-（x-1） 也是如此。'（x）=inx+1 x>0，所以 f（x） 是 x>1 中的遞增函式，即 f（x）>f（1）=0，（x+1）inx>（x-1） 成立。 即 （x 2-1）inx>=（x-1） 2

與 x>0 結合時，（x 2-1）inx>=（x-1） 2

把右邊分到左邊，然後排序為0，或者把右邊分到左邊，取左邊的部分，也就是導數，計算出極值，比一比。

白羊座星光，你好：

這個問題我至少做過四五次，這是乙個經典的微分中數證明問題。 關鍵是使用 McLaughlin 在 x=0 和 x=1 處的函式展開。 算了，我再寫一遍。

當 x e（0,1） 時，f（x） = f（0）+f'(0)x+f''(a)x^2 a e(0,x)

f(x)=f(1)+f'(1)(1-x)+f''（b）x 2 b e（x，1），減去兩個方程得到，0=f（0）-f（1）+[f''(a)-f''(b)]x^2.移動專案並新增絕對值 |(1)-f(0)|=|f''(a)-f''(b)|x^2.因為二階是可微的，所以它在二階上也是連續的，這可以通過中間值定理找到。

f''(c)=1/2(f"(a)+f''（b）），然後你可以使用一次絕對不等式。注 x 2<1

樓上的那個人做了乙個非常複雜的工作（實際上要求乙個導數），事實上，他用數學歸納法證明了當 0 x i 1（i 從 1 到 n）時，有 （1 x1） （1 x2）......(1－xn)≥1-x1-x2-..xn

當 n=2 時，（1-x1）（1-x2） 1-x1-x2 等價於 x1x2 0 顯然為真。

假設 n 為 true，當 （1 x1） （1 x2）....(1－xn)≥1-x1-x2-..xn（*） 然後 n+1，有。

1－x1)(1－x2)…(1－xn)(1-x_(n+1))≥1-x1-x2-..xn)(1-x(n+1))≥1-x1-x2-..xn-x(n+1)

其中第乙個不等號由 （*） 獲得，第二個不等號是 n=2 使用一次時的結論。

因此，存在數學歸納法，並且已知當 x i 1（i 從 1 到 n）時，有 （1 x1） （1 x2）....(1－xn)≥1-x1-x2-..xn

重用條件 x1 + x2 + x3 ...+xn 1 2 得到 （1 x1） （1 x2）....(1－xn)≥1／2.

通過 x1+x2+x3....+xn 1 2 知道 xn 1 2n 1-xn 1-1 2n=（2n-1） 2n 階 y=（1 x1）（1 x2）....（1 xn） （1-1 2n） n 取 y，最小 y=（1-1 2n） n 到 y，導數過程如下： lny=n*ln（1-1 2n） y'*1/y=ln(1-1/2n)+n*2n/(2n-1)*1/(2n∧2) y'=*(1-1/2n)∧n y'=*(1-1/2n)∧n y'=}*（1-1 2n） n<0 當 n y 最小時 y=lim（1-1 2n） n，n y 如下所示： ln[（1-1 2n） n]=ln（1-1 2n） （1 2n） 2 let t=1 2n ln[（1-1 2n） n]=ln（1-1 2n） （1 2n） 2=1 （1-1 2n）*（t）.')/t'2=1 （1-1 2n） -2=-1 2 所以 y=e -1 2>2 1

中間的“1/2 of 5 plus 1/2 of 5”是“1/2 of 5 plus 1/2 of 7”。

這並不難。 方法如下：

一般術語 1 （2n+1） 1 （4n +4n+1） <1 （4n +4n） =1 4 * 1 （n +n） =1 4 * 1 n - 1 （n+1））。

原始公式是 n = 1 到 n 時 1 （2n+1） 的總和，即 [1 （2n+1）]。

所以原來的< 1 4 * 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 +....1/n - 1/(n+1))

1/4 * 1 - 1/(n+1)) 1/4 * 1 = 1/4

最簡單和最佳的方法優先，buhui

徐歡，你好：

樓上的解決方案太繁瑣了，按照你的問題，應該是大二、大三或者大三的水平，而且一定要用到導數的知識。 您可以直接構建它：

f（x）=（x 2-1）inx-（x-1） 2，，，然後按 f'（x）=2x *lnx+（x 2-1） x+2（x-1），當 x>1，， f（x）。'> 0，並且 f（1） = 0，所以當 x>1 時，f（x） > 0，而當 00 時，我們只討論 f'（x） 分子符號，構造 g（x） = 2x 2lnx + 3x 3-2x-1， x>0， g'（x） = 4xlnx+9x 2+2x-2，設g'（x）=0，解為x=1，唯一的零點。 在 x>0 和 x≠1 處，g（x） <0，因此當 0=0 時，即當 x>0 時，（x 2-1）inx>=（x-1） 2，當 x=1 時得到等號。

證明： 00

然後 x m-1 m （x-1）。

設 x=a b，則 （a b） m-1 m（a b-1），即 a m·b （-m） m（a b-1）+1

同時將不等式兩邊的 b 相乘，得到：a m·b （1-m） m（a-b）+b=馬+（1-m）b

設 m=1 p， a=a p， b=b q，則將 1-m=1-1 p=1 q 代入 m·b （1-m） 馬+（1-m）b，我們得到：

ab≤a^p/p+b^q/q

證明方法有很多種，分析了以下方法：

a+b)/2≥√(ab)

a+b≥2√(ab)

a²+2ab+b²≥4ab

a²-2ab+b²≥0

a-b)²≥0.

取上述方程a b為相等，每一步都是可逆的，因此可以證明原始不等式。