如何理解分析力學中的虛數？

簡單來說，假想位移是位移的等時變分部分。 首先，由於它是位移的變體，說明假想位移也是一種位移，即它需要滿足位移失效的約束。 等時性，即假想位移只需要考慮當前的瞬時狀態，與其他時刻沒有相關性。

假想位移實際上是一種數學處理，與實際位移無關，所以任何說“看，這是假想位移”的論點都是流氓。 假想位移的許多性質與微分的性質相同，而假想位移的引入是通過變分方法處理力學問題的一種非常“物理”的方法。 其實沒有這個量也沒關係，虛擬工作是作品的變化，虛擬位移是手指和肢體數量的變化，都是在變化系統下完成的，得到的結果是一樣的。

想象一下乙個小球，漂浮在太空中，無論它的速度和力如何，它都可以向任何方向移動，產生的任何位移都稱為虛擬位移，因為這裡沒有力學，只有對自由度的描述。 現在把球放在地上，假設它不會跳起來（約束），那麼它可以向後、向後、向左和向右移動，無論它的速度和力如何，產生的任何位移都稱為假想位移。 與前一種情況相比，我們不能上下移動，因為我們假設了乙個約束。

這裡仍然沒有力學，只有自由度，由於約束而減少了 1。 現在把球放進碗裡。 具體來說，如果我們只考慮重力，如果它停在碗的底部（碗的底部位置，速度 0），那麼它就會留在那裡。

但禪宗空性，這是力學的結論。 撇開力學不談，如果你不考慮它會反彈，也就是說，將其限制在碗表面內的運動，那麼任何產生的位移都稱為假想位移。 總之，假想位移是一種位移型別，在不考慮速度和力學的情況下都是允許的，而只是考慮受給定約束限制的可能自由度。

翻譯成數學，它是構型流形中的任何位移（已考慮約束），與動態位移的區別在於，動態位移存在於構型流形的流形中，以直接乘積時間存在，並由哈密頓量（力學因子）控制。 從數學上講，這個概念非常簡單直觀，但在理論力學教學中並不簡單，因為我們可能會用它來分析具有複雜約束的系統，很難想象這樣乙個簡單明瞭的數學概念作為這種系統的構型流形。 為了便於理解，每次遇到假想位移的問題，我們首先分析系統有哪些約束條件，約束明確後假想位移就明顯了。

考慮系統的配置歧管 m。 假設約束是可積的，則不可積情況需要考慮 m 上的分布。 如果系統不包含時間（參考拉格朗日函式 l 或哈密頓量 h），則繼續檢視 m。

虛位移是 m 上某一點的切向量。 如果系統是有時限的（意思同上），那麼就要考慮m r，某一點的切空間可以看作是m的切空間和r的切空間的直和（tp（m r）與tpm tpr同構，在整個中側孝道中使用p是不正確的， 但意思很清楚，我就不多寫了），只有m的切線空間裡那些切向的開虛量才叫虛位移，也就是賣稿中所謂的“凍結時間”。像無窮小的位移，不是真正的位移，人們想象的位移，等等，我說了幾遍後，我不知道我在說什麼。

當然，概念不是最重要的，重要的是與概念相關的事情。 例如，達朗貝爾原理（參見阿諾德的《經典力學中的數學方法》第4章），以及一些不完全約束的問題，等等。 <>

虛擬工作原理是分析力學的一部分，獨立於牛頓力學，所以在學習分析力學時，我們應該拋棄牛頓力學中固有的一些概念（不是說它不正確，而是我們以另一種方式思考問題）。

在虛擬工作的原理中，我們首先要講的是假想位移，它考慮了靜力學，物體不動，但是我們可以假設乙個時間（這個時間間隔是0，雖然很難理解，但確實如此），導致物體移動（實際上，它不會發生）， 這樣就產生了虛擬工作，這樣做的好處是不需要考慮結合力，也不需要求解複雜的約束方程。但這種方法有侷限性：

結合力無法求解（由拉格朗日力學補充）。

其實，這樣的假設方法並非毫無根據，這符合變分的數學思想（牛頓力學有很多微分思想，但解析力學考慮的是變分），建議先學習變分，再學習虛擬工作的原理才能更好地理解。

讓我們把它放得更大：

牛頓力學的侷限性在於它是從向量開始的，很多方程都是向量，約束越多，方程就越多，求解起來比較麻煩，遇到稍微麻煩的問題也很煩人。

解析力學彌補了這些不足，首先考慮了自由度、廣義坐標，它們都是相同的全尺寸，使其成為標量方程，拉格朗日方程和哈密頓方程都涉及能量（標量），解簡單，根本不需要考慮結合力， 並且不需要列出某些約束方程。更重要的是，這種方法可以推廣到物理學的其他領域，如電動力學、熱力學，甚至量子力學。

分析力學是理論力學的發展和深化，要靠耐心去學習。 理解虛位移原理、拉格朗日方程和哈密頓正則方程，只是幾個知識點，就很好了。 如果你把老師布置的所有問題都做完了，看看一些示例問題，學會使用各種方法，可以說你學得很好，考試絕對沒有問題。

而當我們拿到考試的時候，我們還是開啟書本，但是等你學好了，你會發現開啟的書和要求的試卷是一樣的。

首先，性質不同。

1.理論力學：它是力學的乙個分支，研究物體力學運動的基本規律和規律。

2.從屬關係。 分析力學：是理論力學的乙個分支。

二是研究內容不同。

1.理論力學：理論力學通常分為靜力學、運動學和動力學三個部分。

靜力學研究作用在物體上的力系統的簡化理論和力系統的平衡條件; 運動學僅從幾何角度研究物體的機械運動特性，不涉及物體上的力; 動力學研究物體的機械運動與其上的力之間的關係。

2.解析力學：以廣義坐標為變數來描述粒子系統，採用數學分析的方法研究巨集觀現象中的力學問題。 分析力學是乙個獨立於牛頓力學來描述力學世界的系統。

分析力學的基本原理和牛頓三大運動定律可以相互推斷。

三是基本原則不同。

1.理論力學：理論力學是以反映理想物體運動基本規律的一些基本概念和公理、規律為研究的出發點。 例如，靜力學可以從靜力學的五個公理中推導出來; 動力學基於牛頓的運動定律和萬有引力定律。

2、解析力學：主要是虛擬功原理和達朗貝爾原理，前者是解析靜力學的基礎; 將兩者前後結合，可以得到動力學的一般方程，並推導各種解析力學系統的動力學方程。

理論力學是對一些可以通過理論分析解決的問題進行理論研究，而分析力學主要是從實驗的角度出發，用實驗方法解決一些實際的工程問題。

分析力學是理論力學的一部分，它利用數學分析的方法研究力學現象，但不同的是，理論力學也包含一些普通的力學內容。

我個人認為，解析力學是通過變換坐標系來解耦方程，使未知數盡可能少，從而簡化方程的解。

當然，在解決問題方面，能量觀比力觀更普遍。

解析力學比理論力學更難計算，公式被推得太多了。

這個問題就像問：初中求解線性方程組。

在大學裡用矩陣運算求解線性方程組有什麼區別？ 當方程組中的未加權數很少時，例如兩個、三個或四個未知數，使用矩陣就沒有優勢了。 然而，對於實際的工程問題，如果沒有矩陣運算，數百甚至數千個未知數是很難解決的。

相應地，理論力學建模方法在求解多自由度、複雜系統時非常容易出錯，並且方程必須在機理稍作修改後重新建立。 解析力學中的拉格朗日方法提供了一種新的、標準化的建模方法，不易出錯，並且模型在修改後易於修改。 更重要的是，程式設計更容易，計算機計算。

在我看來，解析力學最大的優點是它避免了向量力學（即牛頓力學）中正負判斷和向量分解的混亂版本，並利用能量視角來構建力學模型。 另乙個優點是變數少，例如，可以先忽略結合力，可以更直接地分析外力與運動之間的關係。 我個人認為能量的概念在物理學中比較具有普遍意義，因為萬物不一定能還原為力，但可以還原為能量，所以解析力學有利於物理概念的統一。

當然，解析力學在解決簡單問題方面並不像牛頓力學那樣簡潔明瞭，主要困難在於廣義力的判斷和廣義坐標的選擇。

最後，我想補充一點，我使用“牛頓力學”和“分析力學”的概念，而不是“理論力學”。 我知道這個主題將“理論力學”等同於“牛頓力學”。

但是，我個人認為，“牛頓力學”和“分析力學”都屬於“理論力學”的範疇。 理論力學的概念應該與電動力學、熱力學和量子力學有關。

分析力學以廣義坐標為變數來描述粒子系統，利用數學分析方法，基於假想位移原理和達朗貝爾原理研究巨集觀現象中的力學問題。 J.，1788 年出版-l.

拉格朗日的分析力學為這門學科奠定了基礎。 在 1834 年和 1843 年，哈密頓原理和正則方程發展了哈密頓原理和正則方程，使解析力學更進一步。 1894年，赫茲提出將約束和系統分為完全和不完全兩類，並開始研究不完全系統的分析力學。

解析力學的基本內容是闡述力學的一般原理，從這些原理推導出粒子系統運動的基本微分方程，並研究方程本身及其積分方法。 在過去的20年裡，他從現代微分幾何的角度發展了研究分析力學的原理和方法。 分析力學是經典物理學的基礎之一，也是整個力學的基礎之一。

廣泛應用於結構分析、機械動力學與振動、航空航天力學、多剛體系統與機械人動力學，以及各種工程技術領域，也可推廣到連續介質力學和相對論力學。

這取決於你。

數學確實在分析力學中起著舉足輕重的作用，無論是拉格朗日方法還是哈密爾頓原理，它是變分方法的一部分，即所謂的實運動，使哈密爾頓泛函最小化，你可以寫關於哈密爾頓原理及其在分析力學中的應用。