求解過程 15、求解過程

我們知道 0 之和的求和公式是 n 0=n，即 1 0+2 0+。將 n 0=n 1 求和到總和的冪的公式是 n 1=n（n+1） 2，即 1 1+2 1+。

將 n 1=n（n+1） 2 求和為 2 的冪的公式 n 2=n（n+1）（2n+1） 6 即 1 2+2 2+...n 2=n（n+1）（2n+1） 6 取公式： （x+1） 4-x 4=4*x 3+6*x 2+4*x+1 該係數可由楊輝三角形確定 然後得到：

n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1...1) n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1...2) (n-1)^4-(n-2)^4=4(n-2)^3+6(n-2)^2+4(n-2)+1...

3) .2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...n) .

所以 （1） + （2） + （3） +n） 是 左 = （n+1） 4-1 右 = 4 （1 3 + 2 3 + 3 3 +...n^3)+6(1^2+2^2+3^2+..

n^2)+4(1+2+3+..n）+n 因此，將上述三個經過驗證的公式代入 4 （1 3+2 3+3 3+...）。n^3)+6(1^2+2^2+3^2+..

n^2)+4(1+2+3+..n）+n=（n+1） 4-1 給出 4（1 3+2 3+3 3+。n 3）+n（n+1）（2n+1）+2n（n+1）+n=n 4+4n 3+6n 2+4n 移動項得到 1 3+2 3+3 3+。

n 3=1 4 （n 4+4n 3+6n 2+4n-n-2n 2-2n-2n 3-3n 2-n） 在等號的右邊合併相同種類的項得到 1 3+2 3+3 3+...n 3=1 4 （n 4+2n 3+n 2） 即 1 3+2 3+3 3+...n 3= 1 4 [n（n+1）] 2 就是這樣！

立方和公式推導為 1 3+2 3+3 3+...n^3= 1/4 [n(n+1)]^2

你學過二項式定理嗎？

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