關於極值點的問題，極值點的定義是什麼？

事實上，f'(x)=f''（x）=0 的點也稱為拐點，例如，當 f（x）=x 3 時，x=0 處有乙個拐點。

如果乙個點是極值點，則導數必須為 0 或不存在。 如果導數不存在，則二階導數不存在。 但如果存在，那一定是0，然後就要看二階導數了，如果不是0，就是極值點，如果是0，就是拐點，但是這個時候，極值點是否需要討論高階導數。

在這種情況下，讓 f 的第 n 次導數到該點非 0 值的最小導數（它不能全部為 0，否則該函式可以證明該函式是該點泰勒之後鄰域中的常數函式），如果 n 是偶數，則它是極值點，否則不是。

對不可任意推導的函式的分析有點複雜，但大致相同。

這裡有必要區分“函式的導數（簡稱函式的導數）”和“函式在某一點的導數”之間的區別。

當乙個函式的二階導數為0時，它的一階導數是常數，函式的二階導數在極值處為0，這與此不同，所以不要混淆。

示例：f（x）=x 4，極值點 x=0，一階導數為 f'(x)=4x^3,f"（x）=12x 2，極值點的二階導數為0，但函式的二階導數不為0

當然，如果 a 存在於定義域中，則 f'(a)=0,f"（a）=0，那麼a不一定是函式的極值，會有乙個更複雜的討論，在高等數學中介紹。

如果 f（a） 是函式 f（x） 的極值，則當函式 f（x） 獲得極值時，a 被稱為對應於 x 軸的極值點。 極值點是函式影象子區間中最大值或最小值點的水平和垂直坐標。

極值是函式的最大值或最小值。 如果函式位於某一點附近其中到處都有乙個確定的值，該點的值是最大值（小），該點的函式值是最大值（小）。 如果它大於（小）鄰域中所有其他點的函式值，則它是嚴格意義上的最大值（小）。

因此，這一點被稱為一極值點或嚴格的極值點。

計算方法：1）單變數函式極值法。

a.求導數 f'(x)。

b.求方程 f'（x）=0。

c.檢查 f'（x） 在函式影象中。

左值和右值的符號，如果左為正，右為負，則 f（x） 取此根的最大值 如果左為負，右為正，則 f（x） 取此根的最小值。

特別注意：f'（x） 荒謬的觀點也應該討論，即先找到 f'（x）=0 和 f'（x） 無意義的點，稱為可疑點，然後根據定義來判斷。 例如：

f (x)=x|x = 0 處的導數不存在。

2）二階連續偏導數。

函式 z = f（x，y） 的極值方法描述如下：

a.求解方程組 f scab（x，y）=0， f，（x，y）=0，求實解，然後求所有駐點。

b.對於每個站點 （xo，yo），求二階偏導數的值 a，b，c3。

c.AC-B2 的符號用於確定 f（xo，yo） 是極值、最大值還是最小值。

注意：當函式僅在區域 d 中時，某些異常值（x、y）沒有雜訊，這些點不是函式的靜止點，但這些點可能是函式的極值點，應單獨討論。

1. 找到最大最小值的步驟：

求導數 f'(x)；

求方程 f'（x）=0。

檢查 f'（x） 等式左邊和右邊的值的符號，如果左邊是正的，右邊是負的，那麼 f（x） 取這個根處的最大值; 如果左邊是負數，右邊是正數，則 f（x） 在這個根處最小值。

f'（x） 還應討論毫無意義的問題。 你可以先找到 f'（x）=0 和 f'（x） 無意義的點，然後根據定義判斷。

2. 尋找極點的步驟：

查詢 f'(x)=0,f"（x） ≠0 的值;

用極值的定義（半徑不磨難，鄰域小。

f（x） 的值小於或大於該點的點是極值點），並討論了 f（x） 的不連續點。

上述所有點的集合是極值點的集合。

函式的極值點、穩態點和拐點的概念很容易被許多學生和老師混淆。 如何正確理解極值點、穩態點、拐點，主要基於定義和相關認識，只有理解了定義域定理，進而找到它們的本質區別，我們才不會混淆。

站點、極值點、拐點是微積分中無法繞過的知識點，要想充分掌握它們，就必須掌握核心定義，而不是死記硬背一些推論。 了解本質是處理不斷變化的問題的唯一途徑。

1.核心理念：

站：是函式的一階導數為0點，站點也叫穩定點，臨界點

例如：y=x3，然後 f（x） = 3x2，設 f（x）=0，如果 x=0，則 x=0 是函式 y=x3 的地理靜力點。

極值點是函式的單調性變化的點，或者函式的區域性最大值或最小值（或者，當函式有導數時，函式的極值點是其導數的變數符號的零點）。

例如：y=x2，如圖所示，在x=0時，函式的單調性發生變化，或者在x=0附近的區域內，f（0）得到乙個極小值，兩者都表明x=0是函式y=x2的極值點。

言論：當我們找到函式的極值時，我們通常使 f（x） 為 0 的一階導數，但一階導數為 0 的地方不一定是極值點，例如 y=x3，則 f（x） = 3x2，設 f（x）=0，求解為 x=0，在這種情況下，x=0 不是函式的極值，因為函式在 x=0 時的單調性不會改變。

拐點：是函式的二階導數為 0 且三階導數不為 0 的

例如：

我們以 f（x）=x3 為例，看看拐點是什麼，如圖所示：在 （0,0） 處函式的凹凸度發生變化，我們知道二階導數為正，原函式為凸，二階導數為負，原函式的凹函式。 函式先凹後凸，所以（0,0）是函式的拐點。

言論：在拐點處，函式的凹凸性質發生變化，當二階導數大於0時，函式影象為凹面。 如果二階導數小於 0，則函式為凸函式。

2.區別與聯絡

零點、靜止點和極值點都是指函式 y=f（x） 的橫坐標 x0，而拐點是指函式 y=f（x） 影象上的乙個點 （x0， f（x0））。

駐點和極值點：導數函式 f（x） 的極值點必須是它的駐點，但相反，函式的駐點不一定是極值點。 例如，上面示例中的 y=x3 和 x=0 是函式 f（x） 的平穩點，但它們不是極值點。

此外，如果函式的一階導數不存在，則函式也可以獲得極值，例如 y=|x|，導數在 x=0 時不存在，但極值點為 x=0，如下圖所示。

穩態點和極值點與函式的一階導數有關，拐點與函式的二階和三階導數相關。

3.內容摘要。

極值和極值之間的差異定義不同。 f（a） 是函式 f（x） 的最大值或最小值，則 a 是函式 f（x） 的極值點，最大點塵埃和最小值或游泳點統稱為極值點。 函式的最大值或最小值是函式的極值。

2.表達方式不同。 函式的極值用橫坐標的值表示，函式的極值用坐標軸上的縱坐標值表示。

如果 f（a） 是函式 f（x） 的最大值、圓或最小值，則 a 是函式 f（x） 的極值點，最大值、最小值和最小值統稱為極值點。

極值點是函式影象子區間中最大值或最小值上限的橫坐標。 極值點出現在函式坍縮旁邊的靜止點（導數為 0 的點）或不可導數點（導數函式不存在，也可以獲得極值，在這種情況下，靜止點不存在）。

極值點的確定。

如果函式在區間 （a， b） 內可推導，並且區間中有乙個點 x0，則滿足 f'（x0）=0，此時x0可能是也可能不是極值點，判斷方法如下：

如果 f'（x） 滿足 f on （組橡木 A， x0）。'（x） <0，滿足 （x0，b） 上的 f。'（x） >0，則 f（x0） 為最小點。

如果 f'（x） 滿足 （a，x0） 上的 f。'（x） <0，滿足 （x0，b） 上的 f。'（x） <0，則 f（x0） 為最大點。

如果 f'（x） 不改變區間 （a， b） 上的符號，則 f（x0） 不是極值點。

如果函式在區間內是二階可導數，並且具有 f'(x0)=0,f''（x0） <0，則 f（x0） 為最大點，如果 f''（x0） >0，則 f（x0） 是最小點，如果 f''（x0）=0，則f（x0）可能是最大點，可能是最大點，最小點，也可能不是極值點。

1.可能的極端點。

有哪些型別？ 2.有幾種極端點的情況。

3.什麼樣的點是極點？

4.必須達到什麼極點？

1.可能的極值點：靜止且不可推導。

2.Station：一階導數。

0 的點是靜止點。

3.非開放性指南：由無序的年齡前定義的觀點，並且不存在衍生物。

4.導數不存在的不連續點。

5.連續點，但左右兩側的斜率不一樣，即導數不一樣，不可導數。

6.有定義，連續，平滑，但斜率是無限的。

7.判斷是否為極值點的原則：看靜止點的左右，函式的增減有沒有變化，有極值點，沒有騷動。