不定方程數學問題 15、不定方程數學問題

設 8 個連續的正整數為：n， n+1， n+2,--n+7，它們的總和為：8n+28;

7個連續正整數之和為：m，m+1，m+2,--m+6為：7m+21;

3個連續正整數之和為：k，k+1，k+2，和為：3k+3;

1> 8n+28 =7m+21---m=（8n+7） 7=n+1+n 7，n的可能值：

n=7，14，21，--7l(l=1,2,3,4,--

2> 8n+28 ≠3k+3---k≠（8n+25） 3=2n+8+（2n+1） 3，n 不可取：

n≠1，4，7，--3j-2(j=1,2,3,4,--

將 1 和 2 結合起來，n 的最小值為 14，連續 8 個正整數中最大數的最小值為 14+7=21。

該問題要求它為正整數，而 0 不是正整數。

n+(n+1)+.n+7）=4（2n+7）=8n+28 八個連續正整數的總和。

m+(m+1)+.m+6）=7（m+3）=7m+21 七個連續正整數的總和。

8n+28=7m+21

7m=8n+7

m=8n/7 +1

k+k+1+k+2=3k+3 三個連續正整數的總和。

8n+28=3k+3 3k=8n+25 k=（8n+1） 3 +8 m=9 k=27 k 當 n=7 可以是整數時，四捨五入。

當 n=14 m=17 k=113 3 +8 k 不是整數時，n 滿足條件。

8 個正整數的最小值為 14

不定方程解：可分除法、奇偶校驗法、尾數法、組合選項替換法、全等特性。

1. 可分割

應用環境：等式末尾的常數項與等式前面的未知係數具有相同的可整除性質。

2.奇偶法。

應用環境：方程中未知數的係數以奇數和偶數的形式儲存。

注意：奇數奇數=偶數=偶數=偶數，奇數偶數=奇數，偶數=奇數，偶數*偶數=偶數。

3.尾數法。

應用環境：尾數法用於考慮方程中以 0 或 5 結尾的數字的出現。

4.結合期權替代方式。

應用環境：通過可分法、奇偶校驗法或尾數法排除部分選項後，無法確定正確的選項，其餘選項通過代入剔除，確認最終選項。

5.相同的特性。

注：餘數之和決定了總和的餘數，餘數的乘積決定了乘積的餘數。

37x+107y=25，解y=（25-37x） 107=（25-37x.）'）/（-4）=（-12-37x''）/（-4）=3-37x'''

代入原公式得到 x 通式 = -8 + 107x'''

1.在 158 公尺長的路段中，使用了兩條相同厚度的軟管，長 17 公尺，長 8 公尺，每種長度（不截斷）的管道使用多少根管道來鋪平 158 公尺長？

由於總長度為 158 公尺，那麼 17 公尺長最多使用 9 根管子，可以假設使用 17 公尺的水管來檢視剩餘長度是否正好是 8 公尺的整數倍。

這種方法是列舉一根17公尺長的水管的各種可能性，看看哪種情況是合適的，這稱為窮舉法。 當有許多理想的情況時，這種方法當然不能令人滿意，但在理想情況很少的情況下是可行的。

例如，如果 x 用於 17 公尺長的水管，y 根用於 8 公尺長的水管，則可以列出等式。

17x+8y=158 （1）

這個問題需要這個方程的正整數解。

我們使用以下方法來找到這個方程的整數解。 首先，將方程變形為：

8y=158-17x （2）

8y=152+6-16x-x （3）

由於 152 和 16x 都是 8 的倍數，因此 6-x 也應該是 8 的倍數，並且 x 只能取為 6，並且 y=7 可以從 （2） 使用 6 代 x 計算。

因此，使用了 6 根 17 公尺水管，使用了 7 根 8 公尺水管。

也可以通過將等式 （2） 的兩端除以 8 來獲得。

y=158-17x/8 y=152+6-16x-x/8 y=19-2x+(6-x)/8

由於 x 和 y 是整數，而 19-2x 也是整數，我們知道 6-x 8 也是乙個整數。 顯然只有當 x = 6 時，6-x 8 才是整數。 此時 6-x 8 0，y=7

這種解決方案稱為整數分離或整數分離。

2.該車可容納54人，該車可容納36人，想乘坐的人有378人。

分析：如果你需要 x 輛車和 y 輛車，你可以得到方程式。

54x+36y=378

由 （54,36）=18,18|378，原方程可以簡化為。

3x+2y=21

並且必須有乙個整數解決方案。

很容易看出 x=1 和 y=9 是 3x+2y=21 的整數解，因此求解了 3x+2y=21 的所有整數。

x=1+2t y=9-3t

t 是任意整數。

3x+2y=21 除了 t=0 之外，還有乙個整數解 x=1 和 y=9，當 t=1 時，有乙個整數解 x=3 和 y=6。

當 t=2 時，存在整數解 x=5 和 y=3。

當 t=3 時，存在整數解 x=7 和 y=0。

因此，您可以要求 1 輛大車和 9 輛小車; 或3輛大型轎車和6輛小型轎車; 或5輛大型轎車和3輛小型轎車; 也可以讓所有 378 名乘客上車，並裝滿所有 378 名乘客，只要 7 輛大型汽車，沒有小型汽車。

當 t 4 時，解失去相關性，因為 y 不再是 0 和正整數。

假設有乙個非零解，並且 （x，y，z，w）=1（因為如果有乙個公約數，所有 4 個數字都可以按約定除法，並且空數仍然滿足方程）。

由於 （x 2+y 2） 3=z 2+w 2 是乙個整數，x 2+y 2 可以被 3 整除。

而且因為 3k、3k-1、3k+1 的平方被 3 除以，餘數只能判斷為 0,1，所以要使 x 2+y 2 能被 3 整除，x，y 必須是 3 的倍數。 設 x=3x1， y=3y1，得到 3（x1 2+y1 2）=z 2+w 2

同樣，z 和 w 必須是 3 的倍數。 設 w=3w1， z=3z1 使 x，y，z，w 有乙個 3 的公約數，這與假設相矛盾。

因此，不存在非零解這樣的東西。 結論是有效的。

必要性很容易證明。 注 d d = （a， b）。

然後將等式的兩邊除以 d，得到：ax d+by d=c d

左邊是整數，所以右邊一定是整數，因此 d|c.

據說它是乙個不定方程。

那麼問題就是兩個問題了！

問題 1 變形是 x=10+y+3y 5 要使 x 成為整數，則 y 是 5 的整數倍，所以設 y=5k（k 是整數），則 x=10+8k

解是 x=10+8ky=5k（k 是整數）。

問題 2 變形是 x=17-y-（4y-6） 7 要使 x 成為整數，那麼 4y-6 是 7 的整數倍，所以設 4y-6=7ka（ka 是整數）。

y=ka+1+（3ka+2） 4 要使 y 成為整數，則 3ka+2=4kb（kb 是整數）。

ka=kb+（kb-2） 3 要使 ka 成為整數，則 kb-2=3k（k 是整數），即 kb=3k+2

根據上面第 3、2 和 1 行中的方程，第一次和第二次可以在一輪內求解。

x=10-11k，y=5+7k，（k為整數）。

相比之下，第二個問題更具代表性，每次首先呈現整數部分時，都會按順序取以下方程，直到其中乙個方程的正確分數。

分子上的常數項。

如果係數為0（第乙個問題為8y+0）或未知數係數為1（第二個問題為1 kb-2），則此時可以再寫乙個方程（如第乙個問題為y=5k，第二個問題為kb=3k+2）。

這種方法效果很好！ 希望大家能多找幾個題目反覆練習，這樣自己會更熟練地運用神數，答案是對的，可以代入k的整數值，得到原方程的整數解！

1） 求方程 7x+19y=213 的所有正整數的解.

19y<213

y<=11

再。 213 被 7 和 3 整除，x 可以被 7 整除。 統治者早茄子。

19y 除以 7 以平衡 5y = 7k + 3

則 y=2 或 9

y=2 =>7x=175 , x=23

y=9 =>7x=42 , x=6

2）三元線性方程x+y+z=1999的非負整數解的個數。

等價於 （x+1）+（y+1）+（z+1）=2002 的非負整數解數。

相當於 x'+y'+z'= 2002 年正整數解的數目。

這相當於將 2002 個球排成一排，並用兩塊燃燒板將它們分成三部分。 然後是。

2001 年選擇 2 = 2001000 個分割槽。

因此 x'+y'+z'=2002 的正整數解數為 2001000。

因此，（x+1）+（y+1）+（z+1）=2002 有 2,001,000 個非負整數解。

因此，x+y+z=1999 的非負整數解數個數為 2001000。