在立方體中 ABCD A1B1C1D1。 EF 是 BB1CD 的中點。 求向量 EF 和向量 CB1 之間的角度

設立方體的邊長為 1 個長度單位，以 a 為原點，ab 為 x 軸，ad 為 y 軸，aa1 為 z 軸，建立空間笛卡爾坐標系 a（0,0,0），b（1,0,0），c（1,1,0），d（0,1,0），a1（0,0,1），b1（1,0,1），c1（1,1,1），d1（0,1,1），e（1,0,1 2），f（1 2,1,0）， 向量 ef=（-1 2,1，-1 2）， 向量 cb1 = （0，-1,1）， 向量 ef·cb1 = 0-1-1 2=-3 2， ef|=√（1/4+1+1/4）=√6/2，cb1|= （1+0+1）= 2，設向量 ef 和向量 cb1 之間的角度為 ，cos =ef·cb1 （|ef|*|cb1|)=（-3/2）/(√2*√6/2)=-√3/2,=5π/6

向量 EF 和向量 CB1 之間的角度為 150 度。

也可以不搭建坐標系，先連線A1D，再連線A1D CB1，取正方形ABB1A1的對角線M的交點，連線DM，顯然DM EF，DM=EF= 6 2，A1M= 2 2，DA1=2，用余弦來理解三角形DA1M，A1DM是直線CB1和EF形成的對平面的角的余弦， 而解是30度，根據向量的方向，它應該是乙個鈍角，所以它是150度。

坐標法：設立方體邊長為1，取b1為原點，b1c1為x軸，b1a1為y軸，b1b為z軸，建立空間直角坐標系，則向量b1a=（0,1,1）向量b1c=（1,0,1）和向量ef=（1 2,1 2，-1 2）的向量b1a*向量ef=0+1 2-1 2=0和向量b1c*向量ef=1 2+0-1 2=向量EF由0得到，向量B1A和向量B1C形成乙個垂直於平面的平面，即向量EF是平面Ab1C的法向量。

如果您需要其他方法，可以再做一次。

分別取CC1、AD、CB的粗中點g、h、i，連線EHIG，連線ABC1D1，從鄭正到平面EHIG平行於平面ABC1D1，EF在平面EHIG上。 因此，很容易推導出缺陷，EF平面ABC1D1

連線 D1B 由於 E 和 F 分別是 DD1 和 DB 的中點，因此 EF 是三角形 DD1B 的中線，EF 平行於 D1B。 由於 d1b 是平面 abc1d1 上的線段，因此 EF 平行於 abc1d1

作為BC的中點G，連線FG，因為FG垂直於BC，回沌智B1B，所以FG垂直於平面BB1C1C，所以平面EFG垂直於平面BB1C1C，所以EF垂直於B1C

A1D1 垂直於面 ABB1A1

所以 ae a1d1

在 CC1 上，取中點 g 並連線 dg dg ae dg d1f 以消除 ae 高萎 d1f

所以失敗高度 ae 垂直於平面 a1d1f

設立方體的邊長為 a，c1d1 的中點為 f1。

a1f²=9a²/4

d1f = 5a 裂紋蝗蟲手 4

a1d1²=a²

因此，a1f = 9a 4 = d1f + a1d1 被懷疑為 d1f a1d1

因為廣告 a1d1

所以 ad d1f