函式連續性的含義

你這句話錯了。 “當自變數變化很小時，函式值的變化也應該很小”告訴你，自變數δx很小，δy的變化也很小。 這是非常模糊的，以後我們要學習“高階無窮小”，如果δx是δy的高階無窮小，那麼函式的導數就在那個點上。

如果 δy 是 δx 的高階無窮小，則該函式的導數在該點為 0。 你的例子“y x 2 當 x 很大時，導數趨於正無窮大”與“自變數變化很小時，函式值的變化也應該很小”並不矛盾，x 在變化方向很小，y 的變化也很小; 如果 x 在整個範圍內發生變化，則 y 的變化也是整個範圍。 但是 y sin x 和 y x 2 是不一樣的，因為 y sin x，定義欄位是 r

但範圍是 ]，其導數為 y=cos x，域為 r，域為 ]。Y sin x 和 y x 2 定義為一致的連續性，它們在 r 上是一致的連續的。 （可以參考均勻連續性定理）。

一致連續和連續的區別在於：

一致的連續性：對於給定的 >0，可以找到乙個通用的 δ>0，連續的：對於給定的 >0，對於每個 x，可以找到乙個 δ>0，並且該δ的選擇可能取決於 x

例如，f（x）=x 2，x 越大，δ越小。 所以我找不到乙個通用的δ。

而 y sin x 的導數最多只有 1，所以就拿 δ> 1？ ”

不對。 正確的說法是，y sin x 的導數最多只有 1，所以δ> 1 = 就足夠了。

前三種說法都是錯誤的：

影象的效能應該是沒有倒角的平滑曲線”。

如果函式的導數存在，則函式始終是連續的，並且等價於函式的導數是有界的。 ”

錯誤。 例如：f（x） = xsin1 x，在 0 y 時，sin x 和 y x 2 以一致的連續性定義，該連續性在 r 上是一致的連續的。 ”

錯誤。 y x 2，在 r 上不是均勻連續的。

一致的連續性與導數沒有直接關係。

例如，y=|sinx|在與 x 軸的交點處都是不可推導的，但始終是連續的。

如果函式的導數存在，則函式始終是連續的，並且等價於函式的導數是有界的。

有乙個更強的定理：

連續函式 f（x） 在 （a，b） 上始終連續的充分和必要條件是 。

右極限 f（a+） 和左極限 f（b-） 都存在。

其中 a，b 可以是 -，也可以是 +

影象的效能應該是沒有倒角的平滑曲線”。

函式連續性的定義：設函式 f（x） 位於點 x0 的某個鄰域中。

如果 lim（x x0） f（x） = f（x0），則稱 f（x） 在點 x0 處是連續的。

如果函式 f（x） 在區間 i 的每個點都是連續的，則稱 f（x） 在區間 i 上是連續的。

確定函式的導數是連續的就足夠了，如果它是可推導的，它必須是連續的。

擴充套件資源：

函式 y=f（x） 是自變數。

x 的變化非常小，已知原因變化的量就是失敗的量。

y 的變化也很小。 例如，溫度隨時間變化，只要時間變化小，溫度變化也很小; 再比如，自由落體的位移隨時間而變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也很小。

對於這種現象，我們說因變數相對於自變數是連續變化的，並且連續函式位於笛卡爾坐標系中。

中的影象是一條沒有中斷的連續曲線。 從極限的性質可以看出，乙個函式在某一點上是連續充分和必要的。

而是它在那個點附近是連續的。

至於連續性，自然界中有許多現象，例如溫度和植物生長的變化。 這種現象在函式關係中的反映是函式的連續性。

讓函式<>

在點<>

在其中乙個鄰域內有乙個定義，如果有<>

那麼該函式就說在點 <>

被稱為<>

是函式的連續點。

讓函式處於間隔<>

如果<>，則有乙個定義

在<>

的左極限存在且等於 <>

即<>

然後，在<>點呼叫該函式

左連續。 讓函式處於間隔<>

如果<>，則有乙個定義

在<>

右極限存在，等於 <>

即<>

然後它被稱為函式<>

在點<>

右連續。

如果 f 在某個 u（x0） 中定義，那麼當 x-> 滲透到鏈中並且是混沌的 x0 時，f 的極限等於 f（x0），那麼它在這一點上是連續的......即某一點的極限等於聚類檔案的功能，震顫值是連續的。

函式的連續性：因變數相對於自變數是連續變數，笛卡爾坐標系中連續函式的影象是一條沒有中斷的連續曲線。 從極限的性質可以看出，乙個函式在某一點上是連續的充分和必要條件是它在該點上向左和向右是連續的。

自然界中有許多現象，例如溫度的變化和植物的生長。 這種現象在功能關係中的反映是功能的連續性。

規則：1.在某一點上連續的有限函式，經過有限和、差分、積和商運算後，在該點上仍然是連續函式，結果在該點上仍然是連續函式。

2.連續單調遞增函式的逆函式也是連續單調遞增的。

3.連續函式的復合函式是連續的。

函式的連續性是“定義的”，而“定義”在某個點或某個點之間是有意義的，例如：函式 y=2x+3 在定義域 r 上是連續的，假設定義域是 （- 0）u（0， + 在 r 上是不連續的，因為在 0 處沒有定義。

自然界中有許多現象，例如溫度變化和植物生長。 這種現象在函式關係中的反映是函式的連續性。