如何推導簡諧運動的微分方程？

簡單的諧波運動。 特性及表示式： 1f=-kx（恢復力） d 2x dt 2=-（k m）x

取 k m = w 2

所以 d 2x dt 2=-（w 2）x

d^2x/dt^2+（w^2）x=0

x''=-w^2x

r 2=-1，所以 r = +-wi，一般解。

x=c1coswt+c2sinwt=ccos（wt+fai），引入振幅。

a，c=a，得到。

x=acos(wt+φ)

方程設定在牛頓第二定律中：

f=馬，其中f為彈性力，遵循胡克定律，f=-kx，x為位移; m 是質量，其中是常數; a 是 x 的二階導數。 即：

kx=m(d²x/dt²)

d²x/dt²)+k/m)x=0

其特徵方程為：r + （k m） = 0

求解特徵根：k m）i.........我是乙個虛構的單位。

因此，微分方程的一般解為：

acos[t√(k/m)]+bsin[t√(k/m)]…A 和 b 是任意常數，由初始位置和速度決定。

或者寫成單個三角函式：

acos（ t+ ） 其中 = （k m）。

無阻尼簡單諧波自由運動的微分方程：

mx''+kx=0 (1)

初始條件：x（0）=x0 x'(0)=x'0 （2）1 的特性方程）：ms 2+k=0 （3）。

解：x（t）=c1e（s1t）+c2e（s2t） （5） 根據 （2）->c1+c2=x0

c1s1+c2s2=x'0

求解 c1，c2 並代入鏟斗 s1，s2，得到寬度差為 （虛擬磨削亮 1） 對於受迫振動，公式為：mx''+kx=f（t） （6）的解是先求（6）的特化解，再加到（5）中，即為（6）的一般解。

對於阻尼振動，解決方案稍微複雜一些。

1. 諧波自由運動的簡單無阻尼微分方程

mx''+kx=0 (1)

二、初始條件：

x(0)=x0 x'(0)=x'0 （2）1 的特性方程）：ms 2+k=0 （3）。

解：x（t）=c1e（s1t）+c2e（s2t） （5） of s1=（k m） s2=-（k m） 4）3， （1）.

根據 （2）->c1+c2=x0

c1s1+c2s2=x'0

簡諧運動是最簡單、最基本的機械振動，是物體在與偏離平衡位置的位移成正比的位移作用下產生的物體振動，始終指向平衡位置。 簡單諧波運動也是高中物理部分的關鍵知識之一。 闡明簡諧運動規律對於進一步學習機械波、交流電、電磁波等具有重要意義。

簡諧運動特性及表示式： 1f=-kx（恢復力） 2 d 2x dt 2=-（k m）x 擊敗 k m=w 2 so d 2x dt 2=-（w 2）x d 2x dt 2+（w 2）x=0

x''=w^2x

r 2=-1，所以檢查冰雹鋒 r=+-wi，一般解 x=c1coswt+c2sinwt=ccos（wt+fai），引入振幅 a，c=a，得到 x=acos（wt+ ）

這是乙個具有二階常數係數的齊次線性微分方程。

其一般解等於兩個線性獨立的特殊解和對的形式。

其特徵方程為：

x^2+ω^2=0

然後它有兩個共軛複合詞根 i 和 -i

所以微分方程的一般解是野馬鈴薯。

x=c1*cosωt+c2*sinωt

簡諧運動可以看作是圓周運動的投影，因此也可以用圓周運動公式推導出它的週期。

圓周運動。

很明顯，v是無法測量的，所以根據。

獲取<>

其中，向心力 f 可以通過三角函式轉換恢復力來獲得，即

f=-kx 中的負號僅表示方向，因此此處省略）。所以得到。

由於 x 和 r 之間的關係是：x=rcos，因此上面的等式繼續簡化得到：

然後將 v 帶入前乙個圓周運動 t，並得到它。

將r表示為勻速圓周運動的半徑，即簡諧運動的幅度;

表示為勻速圓周運動的角速度，即簡單諧波運動的圓周頻率，則：

勻速圓周運動的物體偏離該直徑（逆時針正）的角度，表示為 t=0，即簡諧運動的初始階段。

然後，在時刻 t：

簡諧運動的位移 x = rcos（ t+ ）。

簡諧運動的速度 v=- rsin（ t+ ）.

簡諧運動的加速度 a=- 2rcos（ t+ ） 是簡諧運動的方程。

無阻尼簡單諧波自由運動的微分方程：

mx''+kx=0 （1） 初始條件：

x(0)=x0 x'(0)=x'0 （2）（1）： ms 2+k=0 （3） 的特徵方程求解：s1=（k m） s2=-（k m） 4）.

1）一般解：x（t）=c1e（s1t）+c2e（s2t）（5）。

根據 （2）->c1+c2=x0

c1s1+c2s2=x'0

求解 c1，c2 並代入 s1，s2 得到 （1） 對受迫振動的一般解，方程為：mx''+kx=f(t) (6)

解是先求（6）的特解，再加到（5）中，即為（6）的一般解。

對於阻尼振動，解決方案稍微複雜一些。

方程設定在牛頓第二定律中：

f=馬，其中f為彈性力，遵循胡克定律，f=-kx，x為位移; m 是質量，其中是常數; a 是 x 的二階導數。 即：

kx=m(d²x/dt²)

d²x/dt²)+k/m)x=0

其特徵方程為：r + （k m） = 0

求解特徵根：k m）i.........i 是乙個虛單位，所以微分方程的一般解是：

acos[t√(k/m)]+bsin[t√(k/m)]…A 和 b 是任意常數，由初始位置和速度決定。

或者寫成單個三角函式：

acos（ t+ ） 其中 = （k m） 如果粒子的位移遵循與時間相關的正弦函式定律，即其振動影象（x-t 影象）是正弦曲線。

錯了，特徵方程的解是一對共軛復根。

物體在與位移成正比的恢復力的作用下，根據其平衡位置附近的正弦定律往復運動。 簡單諧波振動的波形是正弦波。

其中 x 表示位移，t 表示時間，這種振動的數學表示式為：

其中a是位移x的最大值，稱為振幅，表示振動的強度; n表示每秒振動的幅度增量，稱為角頻率，又稱圓頻;

這稱為初始階段。 每秒振動的週期數用 f= n2 表示，稱為頻率; 它的倒數 t=1 f 表示振動一周所需的時間，稱為週期。 振幅 a、頻率 f（或角頻率 n）、

初始階段稱為簡諧振動三元組。

但是，n僅由系統本身的特性m和k決定，與施加的初始條件無關，因此n也稱為固有頻率。

對於乙個簡單的諧波振盪器，它的動能。

勢能之和是乙個常數，即系統的總機械能守恆。 在振動過程中，動能和勢能不斷相互轉換。

我希望我能幫助你解決你的疑問。